无限群是否一定含无限阶元？无限群是否一定有无限多个子群？ 第1页

说说第一个问题吧

在可数交换群的情况，这种群的分类是经典的，下面都假设群是交换群

Def 1 我们称群是周期的，如果每个元素都有有限阶数

设 是一个素数，一个群 的 子群是它所有阶数是 这种形式的元素构成的子群，可以知道对于交换群的情况，它们确实构成一个子群

Thm 1 周期的群是它所有 子群的直和

嘿，这个就爽歪歪了，我们只用研究周期的 群长啥样就好

下面这个定理给出了交换群的一个（并不典范的）直和分解

Def 2 我们称一个群 是可除的，如果

（可除群是Abel群范畴里的内射对象，这可能就是Tor函子怎么来的吧hhh不过这儿扯远了~）

一个群的任何两个可除的子群之和都还是可除的，所以存在最大的可除子群，我们就直接叫它可除子群好了……记作

那么特别不可除的群，即 的群，我们也给个名字，叫作即约群好了。

Thm 2 一个交换群是它的可除子群和一个即约的子群的直和，即

定理1的证明很简单，不过定理2的证明需要Zorn引理，或者，等价的，选择公理。所以你可以选择不相信它，不过why not

Def 3 我们给出一个特别的群，定义 是 的 子群，它其实就是 的所有分母是 的这种数

Thm 3 可除的 群是一些 的直和

定理3的证明不是很困难。下面我们把重点转向即约的群，这种群的分类会难一些

Thm 4 (Prufer)一个可数的即约 群，那么它是一些 的直和

提一嘴，这个定理里的可数条件是无法去掉的w

到此基本上解决这件事情的分类问题了（趴）

Thm 5 一个可数的周期群 可以写成一些形如 (其中 是一个素数， 可以取 )的群与一些 的直和

啊，收工，睡觉！