泰勒展开在物理中有什么简单应用呢？ 第1页

物理大佬们都说了好多应用，泰勒展开在物理中可以说是无处不在，说它是最常用的计算手段也不为过。虽然中学物理以及大物经常假设各种“真空中的球形鸡”，

但是一个实际的物理系统往往是复杂的而无法精确求出解析解。实际上，能漂亮地求出解析解的情况应该都包含在教科书里了。本文我就讲一下泰勒展开与量子场论的爱恨情仇~

量子力学与量子场论中的主要问题都是用微扰论解的，尤其是后者，量子场论中的主要计算结果基本都是通过微扰计算得到的，而微扰论的基础就是泰勒展开。

这话要首先从一个积分说起，就是所谓的高斯积分：

，

长这个样子：

这个积分实际上很简单，很容易就能求出来：

。

但是，如果是这个样子呢：

，

虽然看起来也很简单，但是，这个积分到目前为止，我们并没有发现它的解！！！（这里面也涉及到一些数学的讨论，不过此处不做深入分析，只需要知道这个积分我们做不出来即可）。但是想想泰勒展开，如果 非常小的话，即 ，我们可以退而求其次，按 做一个小量展开：

,

而对于积分：

我们是可以解析求解。所以，这个积分就通过泰勒展开变成一系列（无穷多个）可完整计算的积分之和：

那么这和物理有什么联系呢？

举一个量子场论中的例子来说明。在量子场论中，考虑一个没有相互作用的电子，如果我们想计算这个电子的一些性质，在很多情况下都会出现高斯积分 ，然后我们可以准确得出电子的性质。然而，这并没有什么卵用，因为现实中这样不存在这样的电子，实际的电子都是存在相互作用，与光子耦合在一起，一起构成量子电动力学（QED）的主要部分，而此时，完整的QED相互作用就会使得原先的高斯型积分出现一个三次方项：

，

其中 和 表示电子， 表示光子，把这三个场看做上面高斯型积分中的自变量 ，那这一项就是一个三次方项，然后我们就无法完整求解了。但是万幸的是，这一项的系数 是一个非常小的量，其值为 ，所以我们可以按照上面说的做泰勒展开，当当当！我们可以通过数值按照 展开，一阶一阶的计算，这就是QED中的微扰论的基本思想了，当然我们可以把每一阶的计算按照一定的规则用图的形式画出来，就是所谓的费曼图，比如说：

费曼图中一个顶点就表示有一个展开系数 ，这个图就是两个电子散射的过程。当然能满足这个过程的图理论上有无数个，但是画地越复杂，可以想象就会有越多的顶点，那么由于 的存在就会使得相应项的贡献非常小，在实际计算中，只要考虑到我们需要的精度就可以了。

（多说一句，当我们说一个事件发生了什么样的中间过程时，很多情况下指的是微扰论意义中的，而这样说的前提是通过微扰论计算。换句话说，如果不考虑微扰论，那么“中间粒子”这样的说法是不是错误的呢）

虽然这个思想简单，但是成果可谓丰厚，通过微扰论计算的到的QED的相关结果和实验结果符合的非常好。比如说电子的g因子，在1948年Schwinger通过QED的微扰计算得到这个值(者考虑到一阶)为：

，

而当时实验结果是 ，这与计算结果在小数点后4位都相同，可以说非常精确了，而现在的高阶计算和更精确的实验结果越来越显示这样计算的成功！这只是电磁相互作用，那么按照这个思想，弱相互作用和强相互作用(用量子色动力学来描述，QCD)都利用泰勒展开，那么整个宇宙岂不是都可以计算了（当然还有引力没考虑）。一切看起来都很完美。这么一想，物理学的大厦岂不是又要建成了，物理又要变成没有前途的专业了，科研民工能做的就只是修修补补，搞点高阶计算，把值算的再精确一点了，

BUT！！！物理学的大厦上空从来都是飘着乌云，飘走一朵又会飘来十朵。微扰计算虽然在QED中应用的非常成功，但是，在处理强相互作用的时候出现了问题。这个三次方系数 它不是一个固定值啊！它会跑动啊

这个 随着能标是会变化的，

如上图所示，不过要注意，这个图中的纵坐标是 。可以看到，强相互作用的耦合常数（图中红线）在高能下是一个小量，这时候应用本文说的泰勒展开那非常的完美，但是在低能下，这TM根不是一个小量啊啊啊啊！！！这就导致了泰勒展开的方法就失效了，我们无法做这样的计算啦！（怎么感觉有点小开心呢~）

高能区域我们可以通过对撞机得到这样的对撞能量实现，实际上实验结果和理论微扰计算确实符合的非常好。那么低能区域对应着什么呢？我们生活的能标就是低能啊，实际上基本就已经接近真空的能标了！比如说质子啊中子啊原子核啊都是QCD物质啊，这些物质在真空中有两个重要的性质：

• 夸克禁闭（confinment），又叫色禁闭。在QCD中，夸克和胶子是基本的自由度，但是在低能下，实验中能观测到的都是夸克和胶子构成的不带色荷（类似于电荷的一种守恒量）的强子（包括重子和介子，质子和中子就属于重子）。由于QCD在低能标区耦合常数不是小量，因此在QED以及QCD高能标区域使用的微扰法此时就无法使用，虽然有格点QCD可以进行暴力计算，但是到目前为止夸克禁闭还无法通过QCD直接推导出来。
• 手征对称性自发破缺。u夸克和d夸克的质量是非常小的，分别是 和 ，但是由两个u夸克和一个d夸克构成的质子却有 左右。另外，通过分析介子谱可以发现， 介子的质量远远小于其它介子。对这个现象做出的合理解释就是QCD中的手征对称性自发破缺，其结果就是夸克获得了一个额外的动力学质量， ，再根据Goldstone定理，每一种连续对称性的破缺都会产生零质量的玻色子，此处即为 介子（ 介子实际具有一个小的质量 ，这是因为夸克的质量并不严格为零。计算表明，如果夸克的质量严格为零，则 介子的质量也会严格为零 ）。（另外，目前好像已经有人通过格点QCD验证了靠谱的办法来解决这个问题）

这两条性质可以说是QCD在真空中最为重要的两条性质，但是正如上文所说，没有办法通过微扰计算得到这样的性质。这实际上是来源于QCD的非微扰性质。而实际上，QCD的非微扰的真空性质有非常多有意思的地方，甚至会和宇宙中的正反物质不对称（强CP破坏）以及暗物质（轴子，暗物质候选者之一）都能扯上关系，而这些都不是微扰能解释的。

总而言之，泰勒展开在高能物理中的应用是非常基本且重要的，但是泰勒展开也不是万能的，也有失效的时候。

革命尚未成功，同志仍需努力。

...

但是我等科研民工能做的依然还是修修补补，搞点高阶计算，把值算的再精确一点。

我的上一个回答 ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ 我的下一个回答

应用非常多，尝一个小栗子

小角单摆

在中学做练习常常会遇到

那时，我们年轻，被告知单摆周期只和摆长有关。（太好骗了）

但实际上周期的表述是这样

单摆的重力势能

然后我们就有了

右边泰勒展开

小角近似

太好了，我们熟悉的二阶常微分方程

然后就有了

导航 >>>>>>

专栏（欢迎订阅投稿）

繁星悟语 ······················································用Python做科学计算

计算物理·······················································本科物理与研究生物理

收藏夹（欢迎阅读分享）

知乎体科普 ···················凝聚态物理101问与答·················· 物理干货铺·················· Python收纳盒

学术黑名单 ···················劝退实验室······································ 学习资源站

@小侯飞氘 从模型上非常详细地解释了。当涉及到非简谐过程，也就是非弹性过程就要考虑级数高次项。

例如，晶体的热传导和热膨胀就需要通过增加高次项的非简谐作用来考虑。如果是简谐过程，声子为玻色子，格波之间没有相互作用，那么必然不存在声子间的能量传递即热传导，这与实际是矛盾的。也就是说需要添加高次项来描述声子的相互作用。同理，对于热膨胀，如果是简谐模型，没有高次项的泰勒展开，势能为简谐的二次抛物线，那么温度升高原子的平衡位置是不会改变的。而事实同样是温度升高，材料会发生热膨胀，这就说明需要考虑高次的泰勒展开项，常见的势能模型有几种，一般按照莫尔斯势处理，也就是原子在压缩和拉伸受到作用是不对称的，图在 @小侯飞氘 的回答中有，相同的距离压缩更加困难，因此温度升高后晶体会发生热膨胀。

同样还有非弹性散射过程，对于光就是拉曼散射，对于电子的康普顿散射，就是要考虑到高次项。拿光来说，弹性散射就是散射强度与波长四次方成正比的瑞利散射。而作为非弹性散射的拉曼散射，其强度则非常低，对于半导体，大概10^8个光子中有一个发生了拉曼散射，对于一般材料要更低。虽然强度十分低，但非弹性散射中却包含了物质的结构信息，对分析材料十分好用。拉曼散射中就是对电子极化率按泰勒级数的高阶展开，电荷辐射电磁波，其影响到感生偶极矩，产生拉曼效应，其中一次项就是一级拉曼效应，二次项就是二级拉曼效应。

很多好像成正比的关系其实是一阶的泰勒展开。

比如相对论能量和牛顿力学里面的能量，弱光下的光学和非线性光学，谐振子近似，应该还有很多例子，能力有限暂时列不出来。

在自变量较小时，高阶项被隐藏，自变量较大时，其更高阶的性质就会被看到，而很多重要的信息就隐藏在这些高阶量的系数中。

————————————————————————

和泰勒展开相对的，傅里叶展开也是物理学常用的展开公式，前者反映了物理量对某自变量的响应，后者反映了波动性。

把各种系统变成谐振子

做近似。。

╮(╯_╰)╭