拓扑学能解决哪些分析学无法解决的问题？ 第1页
1
banach-50 网友的相关建议:
抛砖引玉一下
考虑如下问题：对于二维可定向闭曲面M，亏格为g，那么M上是否存在一个连续的、没有零点、奇点的向量场？
如果g=1，M是环面，很显然是存在的，考虑在lattice上取一个常向量场，作完商空间后自然是整个环面上的连续非零向量场。
但是对于球面或者多环面（g＞1），是否依然成立呢？答案是否定的。微分拓扑里面的hopf-poincare定理告诉我们，对于一个n维流形上的向量场，所有局部指标加起来等于拓扑指标，也即欧拉示性数χ(M)。当向量场没有零点或奇点时，局部向量场指标处处为0，那么必须只能χ(M)为0了，而对于二维可定向闭曲面，χ(M)＝2-2g，g不为1时都不为0，自然也找不到满足题目要求的向量场。
表面看上去，一个几何体上的连续向量场似乎是和分析更紧密相关的东西，最后的答案却只和某个拓扑不变量有关，不免令人大跌眼镜。
1
相关话题
《图灵传》中讲到「狄拉克基于抽象数学预言了正电子的存在」，其中细节为何？数学家面对复杂的数学算式时，还能把它和直观的概念联系在一起吗？
个人觉得抛硬币并不是真正的随机事件，和抛硬币时候的各种状态参量有关系，那么到底什么是真正的随机？
请试着论证下此问题是否条件充分，可解？
1^k+2^k+3^k+…+n^k 的公式是什么（n，k 均为自然数）？
求好一点的近世代数的教材。？
拓扑学能解决哪些分析学无法解决的问题？
“可分度量空间”的名字是怎么来的？
人是如何做黑盒优化的？
请问高等代数判断多项式可约性的这一题要怎么入手？
相关的话题
有哪些令人为之惊叹的数学题目？有哪些数学系鄙视物理系的经典桥段？
矩阵的指数函数到底说的是个啥？
研究数学是不是必须有天赋？
如何通俗易懂地解释卷积？
如何通俗地理解概率论中的「极大似然估计法」?
是否存在一个比复数更大的数域，使得任意五次方程都有根式解？
为什么尺规不能三等分一个任意角？
如何证明你是一个废人？
数列的极限定义，为什么我证明是错的?
为什么说0.1的有效数字是1?小数点前的零确实有实际意义啊？
数学天才韦东奕交女朋友了吗？
所有正方形的数量与所有长方形的数量相等吗？
数学领域如今是否还会提出新的猜想?
内心随便想一个正整数，让别人来猜，猜对的机率是多少？
我该怎样劝说孩子学会均衡发展？
你认为数学和物理之间的关系是怎样的？
有什么参考书对大一学习高数有帮助的吗 求推荐 谢谢？
如何理解代数中的极限和余极限？
如何看待一农民号称「推导出了世界上第一个悬链线计算公式」？
数学重要的是记忆力、推理力，还是理解能力？
整函数f(z)满足lim(z→∞)Re(f(z))/z=0，则f是常数吗？
俄罗斯的数学教育为什么那么强大？
你认为你所在学科最杰出的思想是什么？
如何给高中生解释群论？
向量奔驰定理有哪些证明?
维数可以是虚数吗？
这道题该怎么解?
请问0除0是无解还是无限个解?
这题怎么写？急！?