一个整数可以拆成两个整数的平方和，5201314可以拆成哪两个数的平方和？ 第1页

首先我们应该知道下述结论：

定理 1：对素数 ， 能表示成两个整数的平方和当且仅当 .

定理 2：对 ，有

由于 ，且由 定理 1 可知

又由 定理 2 知

从而有

其实我们还可以进一步将 表示成三个整数的平方和.

这种操作可以继续做下去，可将 表示成四个整数的平方和. 其实将一个数表示成整数的平方和是比较容易的，但要将一个数表示成整数的立方和却比较困难. 那么是否可以将 表示成两个整数的立方和或者三个整数的立方和呢？要想回答这个问题，我们得知道下述事实：

定理 3：一个整数 能表示成两个整数的立方和当且仅当 有正因子 ，使得 为一个整数的平方.

猜想：一个整数 能表示成三个整数的立方和当且仅当 .

可以验证，对于 的任一正因子 ， 都不是一个整数的平方，故由 定理 3 知 不能表示成两个整数的立方和. 又直接计算可知 ，从而若上述猜想成立，则 可以表示成三个整数的立方和，但不知道可以表示成哪三个整数的立方和.

补充：

1. 整数表示成二数平方和的充分必要条件

定理 4：对整数 ， 能表示成两个正整数的平方和当且仅当

其中 为素数且满足 ， , 而 为非负整数且 不全为零，若 全为零则 为奇数.

2. 表示成二数平方和的算法

定理 5：设 为素数，令 . 若 满足

则 .

注：上述算法是数学家 Gauss 在 1825 年构造出来的，但并不是最好的算法. 事实上，将 的素数表示成两个整数的平方和的算法有好几种，但算起来计算量都挺大的，跟暴力计算好像没太大差别.