有没有一套统一的办法处理非初等的原函数？ 第1页
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谢邀。
题主用方程引入虚数类比在初等函数中添加超越函数，这个类比是恰当的，但也有不恰当之处，那么我也试着从这个角度去说。
初等函数可以类比为代数数，即所有整系数方程的根的集合；超越函数可以类比为超越数，即非整系数方程的根的集合。代数数对有限次四则运算以及开根是封闭的，初等函数对有限次四则运算、开根、嵌套封闭。
在代数数中引入有限个超越数，就能得到全体实数了吗？这个显然是不可能的。光是引入一个超越数，想要对乘法分封闭，实际上就引入了可列多个超越数，例如e，那么…e⁻²，e⁻¹，e，e²…都是超越数。代数数是可列的，是实数的零测集，一个一个引入是没有穷尽的。与之类似，初等函数引入超越函数，我们只能知道一个就拿进来一个。
怎么发现“新”的函数？就是要找到初等函数的突破口，让它不封闭，就能达到目的。比如只能进行有限次初等运算，那我们可以研究级数函数；对不定积分不封闭，那就研究积分的内容……
初等函数的藩篱还是太狭窄了，数学分析研究的中心对象是连续函数，可是就算是连续函，也是藩篱之的某个藩篱，概念之外的某个概念。
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