根号素数的有限组合是否一定是无理数? 第1页

设p1,p2,…,pn是素数，那么sqrt{p1}+…+sqrt{pn}就是某个Q-线性空间(其基至少比1,sqrt{p1},…,sqrt{pn}要多)中的元素。由表示唯一性，它不可能属于Q。

当然这也要用到前面那位大佬的结论，其实证明就是在说：x^2-pn就是sqrt{pn}在Q[sqrt{p1},…,sqrt{pn-1}]中的极小多项式。域扩张只会降低极小多项式的次数，如果再降的话只能是1次的了，这就是说1,sqrt{p1},…,sqrt{pn}是Q-线性相关的，而这不可能。看你是否能承认这个前提了。

该问题事实上就是 在有理数域上线性无关的问题，我们用初等方法来解决。

一般化求解：对于 个两两互素的非完全平方正整数 ，必有 ，其中 表示以 为变量的有理系数多项式的集合。

首先， 是一个域，即关于四则运算封闭的集合。加减乘封闭性是平凡的；而除法运算封闭性可由归纳法证明，这里略去细节。

下面对 归纳证明命题。

时，问题等价于证明没有有理数 满足 。这可以由简单的平方证明之。

假设定理对于 成立，考虑 的情形。

显而易见，对于任意的正整数 ，以及任意的 ，存在 使得 。

若 则可以令 。下考虑三种情形。

1.若存在 使得 ，则有 。这与归纳假设矛盾。
2.若存在 使得 ，则平方可得 。由前述封闭性知 ，与归纳假设矛盾。
3.以上结果说明，对于任意 ，有 。下面只要证明存在有理数 使得 。(由两两互素得到矛盾)令 得到 。由 的定义可知 ,其中 。代入并变形可得 。这与 的归属矛盾，除非 。故有 。重复此过程即可得 。

证毕。

(PS：似乎当根式次数不为2时这个证明就失效了。求一个一般化的证明)