黎曼猜想具体是如何推出素数定理的广义形式的？ 第1页

由于具体细节太多，本片回答仅仅展开简单的思路。在解析数论领域中人们通常会使用von Mangoldt函数来进行素数研究：

确切地说，倘若设π(x)为素数计数函数、 则有：

因此接下来我们可以把注意力转移到 了。

的反演

利用带余项的Perron公式^[1]，可知当 时，有：

其中 、 表示x与离其最近的素数幂之距离

至此我们已经将zeta函数与素数分布问题联系在一起了。接下来我们就来看看如何去计算(2)左侧的积分了。

围道积分的估计

事实上可以证明存在一个序列 使得 在区域 中一致成立，且对于任何的实数T>0均存在n使得 ^[2]。

除此之外，我们还可以证明对于任何 正整数m，当 时总有

^[3]

这些上界足以帮助我们使用留数定理来进行积分：

其中D表示定点为 的逆时针长方形围道

现在将我们总结出来的 上界代入到(3)的误差项中，便有：

其中

至此我们已经做完了所有需要的估计了，接下来我们就可以来计算剩下的留数积分了。

留数的计算以及最后的结论

现在用 表示zeta函数的非平凡零点、用 表示zeta函数的平凡零点^[4]。则根据拉格朗日展开公式^[5]，可得：

结合对数函数的幂级数展开式，将(5)代入到(4)中，我们就得到了 关于zeta函数零点的精确公式：

其中

zeta函数的零点分布与渐近展开的余项

为了更加便利地估计(6)，我们需要引用一些zeta函数非平凡零点分布的基本结论：

设 ，则有 ^[6]，利用这个结论我们就可以对(6)里的非平凡零点求和进行有效地估计：

因此结合(7)，假设 的非平凡零点都满足 （其中 ）则：

现在将 代入到 和(6)中，我们就得到了 更简易的渐近展开：

从 到π(x)

虽然(8)给出了zeta函数零点分布与 的关系，但是为了更加直接地与素数分布联系起来，我们希望得到一个适用于π(x)的渐近公式。现在把(8)代入到(1)中，我们就能得到最终结论：

特别地，当黎曼猜想成立的时候，(8)和(9)就可以变成这样：

参考

1. ^带余项的Perron公式 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/355438064
2. ^抽屉原理的妙用——Dirichlet逼近定理和Zeta函数的零点间距 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/367101494
3. ^切比雪夫$psi$函数的精确公式（Explicit formula）推导 - 超理论坛 https://chaoli.club/index.php/6308
4. ^读懂黎曼猜想（3）——平凡零点、非平凡零点与黎曼猜想 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/159602913
5. ^《读懂黎曼猜想》支线（4）——卷绕数、幅角原理和拉格朗日展开 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/313001616
6. ^读懂黎曼猜想（6）——非平凡零点的分布 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/163513405