如何证明素数有无穷多个？ 第1页

经典反证法和Zeta函数欧拉乘积反证法都已经有人回答了，下面写一个自己的构造证明法：

定义Mangoldt函数 ，则有：

因此有如下关系

再利用RS积分：

可得渐近展开

重排左侧，得：

对于右侧，有

因此 。最后根据Shapiro陶伯型定理（Shapiro's Tauberian theorem）^[1][2]，可知存在常数K使得对于足够大得x，有：

即对于足够大得x，存在常数A和B使得

设素数计数函数 则利用RS积分，得：

因此素数有无穷多个。

附录1： 收敛证明

附录2：Shapiro陶伯型定理的另一结论及其推论

事实上对 使用Shapiro陶伯型定理还能给出一个更有意思的结论：

这可以让我们计算素数倒数和的渐近式：

现在定义 则有：

@呀嘞呀嘞 确实欧拉乘积能给出asymptotic tight bound，但似乎它没法对误差进行估计。

参考

1. ^ Shapiro. Harold N. (1950) On the number of primes less than or equal x. Proc. Amer. Math. Soc.,/: 346-348: MR 12, 80.
2. ^当数论遇上分析（3）——数论函数的加权平均、切比雪夫定理以及埃氏筛 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/272483362