如何简洁地证明二次互反律？有哪些具体应用？ 第1页

这里有个我觉得挺简洁但又很神奇的证明，用到的工具只有排列的逆序数。发现者是 19 世纪的俄国数学家 Zolotarev. 可以简要说说。

如果有 个字母的一个排列 ，它总可以写成一串对换的乘积，写法有很多，但用到的对换的个数的奇偶性是不变的，所以可以定义 的符号 ，用到偶数个对换的时候符号是 1，用到奇数个对换的时候符号是 -1.

符号是一个同态：如果有两个排列 , 则

他们乘积的符号等于符号的乘积：

证明的思路很神奇，找两个排列 使得他们的符号分别是 , 然后乘积的符号是 ，就成了。

对于两个奇素数 , 取 个字母，填入 的方格内。

比如 的情形，可以按从左到右从上到下的顺序填入 0-9a-e 十五个字母。

       0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e     

沿着对角线捡起来，再横着填到填入一个 的方格，则得到了 0-9a-e 的一个排列 .

       0 1 2 3 4            0 6 c 3 9 5 6 7 8 9 -------->  a 1 7 d 4 a b c d e            5 b 2 8 e     

这里的对角线是贪食蛇模式，如果碰到了底部就从上面继续，碰到了右边就从左边继续。这个排列的意思就是 0 -> 0, 1 -> 6, 2 -> c, 3 -> 3, 4 -> 9, ...

现在把这 的方格的内容横着捡起来（0 6 c 3 9 a 1 7 d 4 5 b 2 8 e），按从左到右从上到下的顺序填入一个 的方格

                               0 6 c 0 6 c 3 9               3 9 a a 1 7 d 4 ----------->  1 7 d 5 b 2 8 e               4 5 b                         2 8 e     

这一步没有重排字母（恒同映射），只是为下一步做个准备。

现在在 的方格里横着捡起来，沿对角线填入

       0 6 c              0 5 a 3 9 a              1 6 b 1 7 d -----------> 2 7 c 4 5 b              3 8 d 2 8 e              4 9 e     

这是另一个排列 . 这次排列以后的结果很有意思，0 1 2 3 4 变成竖着写的了：所以 的复合，相当于 “转置” 了原来的方格（在 3 x 5 的方格里沿对角线捡起来，横着放下去，再横着捡起来，沿着对角线放到 5 x 3 的方格里去，中间两项一抵消，剩下的当然就是转置）

                                                      0 6 c              0 5 a 0 1 2 3 4      σ        0 6 c 3 9     id       3 9 a      τ       1 6 b 5 6 7 8 9 ----------->  a 1 7 d 4 -----------> 1 7 d -----------> 2 7 c a b c d e               5 b 2 8 e              4 5 b              3 8 d                                                2 8 e              4 9 e     

注意转置不是平凡的排列，是把 01234... 分别变成 05a16...

下面来计算这几个排列的符号。

转置的比较好算：要把

       0 5 a 1 6 b 2 7 c 3 8 d 4 9 e     

“恢复” 成 0123456789abcde 需要几个对换？计算“恢复”每个字母位置对符号带来的贡献就行——要把 1 放到 0 的后面，需要越过 5 和 a, 两个对换，因为我们只关心奇偶性，所以无贡献。要把 2 放到 1 的后面，需要越过 5, a, 6, b, 总共 4 个对换，也无贡献。可以看出 0 1 2 3 4 归位都是无贡献的。5 也没有，6 就比较有趣了，只需要越过 a, 贡献了一个 -1. 7 呢？7 每往上移动一行贡献一个 -1, 但是需要往上移动两行，所以 无贡献。8 贡献了 ，9 贡献了 ...

一般地如果写成 的方格，

       xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxox xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxox xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxoxox xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx     

只有标 "o" 的地方能给出 -1 的因子（每个 o 需要越过奇数个字母奇数次），所以转置的符号是. 这里就有点二次互反律的影子了。

那么

       0 1 2 3 4     σ       0 6 c 3 9 5 6 7 8 9 --------->  a 1 7 d 4 a b c d e             5 b 2 8 e     

的符号怎么计算呢？计算这个才是写成 方格的原因——沿着对角线重写的时候，可以观察到，每个字母所在的列都没有变化，只是行变了，所以 其实是五个置换的乘积（每个对应一列），而且我们可以通过 “旋转密码锁” 的方式（每次旋转不改变符号），看出 和下面这个置换有相同的符号

       0 1 2 3 4     σ'      0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 --------->  a b c d e a b c d e             5 6 7 8 9     

而这个东西的符号，其实就是第一列那个置换的符号的五次方——等于第一列那个置换的符号。

而第一列那个置换，可以证明，就是 “乘以5” 在 上定义的置换。也就是说， 的符号就是 “乘以5” 在 上的置换的符号。

同理， 的符号就是 “乘以3” 在 上的置换的符号。

一般地对于 , 把 “乘以 m” 在 上的置换的符号，记作 的话，我们已经证明了

接下来只需说明 ，而这并不难—— 是素数的时候 都是 到 的满同态（不是完全显然的，想想为什么是同态，为什么满），而这样的同态只有一个，所以他们一定相等。这就赢了。

我不知道这个证明是怎么想出来的，但是证明本身似乎比数格点之类的证明好懂一点，也难忘一点。把一个群 ({±1}) 里的一个等式（用同态）提升到某个复杂点（所以更有信息量）的群 (S_n) 里证明出来，很好用，也很需要创造力。

来一个我大Eisenstein的解析证明。这个证明据说是Kummer给予高度评价的证明。下面证明来自Franz Lemmermeyer的书Reciprocity Laws(From Euler to Eisenstein), pp. 236-237.

证明： 设p,q均为奇质数。首先证明以下等式是成立的。定义

那么有

。

首先如果 ,那么必存在 ,使得 。正负号由r惟一决定。当r走遍A中所有元素，那么r'也走遍A中元素，且没有重复。上面的同余式总意味着

令r取遍A中所有值，并且结合Euler引理 ,命题得证。

Eisenstein 接着利用正弦函数的性质(容易用归纳法证明)

引理：对奇数 ， 是 的多项式。记 ,那么这个多项式 是 的多项式，而且多项式是首项系数为 的偶函数。

的零点是 的零点除去 的整数倍。我们如果定义r与-r是等价的，那么在此等价关系下q的剩余系(不含0)的代表元的集合可以定义为 。我们有

。

回到Legendre符号的乘积表达式。我们立刻有

交换p与q, 二重乘积正好改变

次符号。证毕。[天才的证明!!!