三扇门的概率问题，直觉为什么会产生问题？ 第1页

在三门问题中，是否换门，取决于每个门的概率是否发生了相对变化。注意是相对变化。只有均衡的概率被打破，才需要考虑换门。

打破概率均衡，取决于两个条件：

第一，是否有新的信息被引入系统。

如果主持人不知道哪扇门后有奖品，那么就不会有新的信息引入系统。这时，不管主持人干什么，只会同时改变所有门的概率。各个门的概率始终均衡变化，无需换门。

第二，新的信息作用到系统局部，打破了整个系统的概率均衡。

三门问题的原题中，主持人不能打开已经选好的那扇门。这样，主持人的信息不能作用到整个系统，只是提高了系统局部的概率。这就破坏了整个系统的概率均衡，需要换门。

如果变化一下原题，让主持人的开门范围包括那扇已经被选择的门，那么，主持人的信息就作用到了整个系统。这时，概率均衡会继续维持，无需换门。

回答题主的问题——与猜奖着数量无关

在引入三个猜奖者后，题主没有描述主持人的开门范围是什么。我这里假设主持人是在三扇门中随意打开一扇空门。这时，主持人的信息作用范围是整个系统，概率均衡继续维持，无需换门。

问题的引申——错误的信息不改变概率

假如说，这个主持人的信息是错误的，也就是说，他自以为知道某扇门后有奖品而实际奖品在其它门后，那么主持人的行为不会改变中奖概率。

问题再引申——不准确的信息怎样改变概率

在原始三门问题中，假设这个主持人的信息不是完全准确。譬如说，他被告知某扇门后有奖品，但是这个信息只有70%的准确率。只要这个准确率大于自然概率，在三门问题中是33%，那么就应该换门。

说明你压根儿还是没有理解三门问题。

三门问题的绝大多数的解读都是错的。

正确的表述是，有三扇门，其中一扇门后有大奖，你选择了一扇门。这时候根据游戏规则（注意了！这是重点），主持人会在剩下的两扇门中，打开一扇没有奖品的门，这时候你要不要换成主持人没有打开的那扇门？

只有在这种情况下，你换才是2/3的概率。

所以这里有两个关键：

1、主持人必须从剩下的两扇门中打开一扇，不管你选择的是什么。

2、主持人明确的知道奖品在哪扇门，所以一定会打开一扇没有奖品的门。

忽略这两个条件的解读都是哗众取宠的。

题目又更新了？变成2玩家4门了？

答案是，如果是互换位置，换不换都行，不改变结局。

先用一个简单的解法：

开门前，正确答案在参赛者手上的几率是1/2,两人各1/4; 在另外两门的概率是1/2，两门各1/4

开门后，正确答案在参赛者手上的几率是1/2,两人各1/4;在另外两门的概率是1/2，一门0，一门1/2

互换，无非是把我的1/4换给你，没有任何意义。这个时候换第三门才能提高获胜概率。

如果这个听不明白，我们就用枚举法详细解释一下。

四个门，任意选两个，你选A，你的对手选B。那么实际上第一轮选完之后是三种情况

① A对，B错，另外两个全错 (1/4）

② A错，B对，另外两个全错（1/4）

③ A错，B错，另外两个有一个是真（1/2）

换： 情况①错，情况②对 情况③错 对的概率是1/4

不换：情况①对，情况②错 情况③错 对的概率还是1/4

所以不换，这是答案。但我们应该加问一句，为什么会这样？

为什么会这样？

问这个问题的人没有get到三门问题为什么出现了概率变化。

三门问题要实现改变概率必须同时满足三个条件：

① 主持人必须知道哪个是正确答案

② 参赛者必须在主持人选择之前做选择

③ 主持人不能把参赛者已经选定的选项作为错误答案排除。

只有在三个条件都满足的情况下，主持人才能改变【没被选择的选项】的概率

② 我们就不说了，最主要的是要正确理解①、③

问出这个问题的人，主要是完全没有注意到③，“主持人不能把参赛者已经选定的选项作为错误答案排除”

如果我们假设对门为a，错门为b，且a远远大于b

实际上，三门问题可以写成一个三元一次方程：

X参 + X主 + X未 = a+2b。

X参 是参赛者选择的门，X主 是主持人选择的门，X未 是未选择的门。

选择，实际上是一个对未知数赋值的过程。

因为参赛者不知道哪个门后面是a，所以被参赛者选择的门，会被赋予一个值 ⅓a + ⅔b

被主持人选择的门，也会被赋予一个值：

情况一：当主持人知情的时候，这个值就是b；

情况二：当主持人不知情的时候，这个值就和参赛者一样，是⅓a + ⅔b

对于情况一而言，X未=⅔a +⅓b，这种情况下，a出现的几率才被改变了。

对于情况二而言，X未 =⅓a + ⅔b = X参，所以换与不换没有区别。

因此，主持人知情是一个决定性的条件。

另一个关键点，主持人不能宣布参赛人的答案为错。

如果主持人可以改变参赛人的答案，即他可以指认X1为b，那么，对参赛人来说，又变成了X2+X3=a+b的问题，这种选择是没有区别的。

好，我们回过头来理解四门问题

四门问题实际上就是

C1（参赛者1）+C2（参赛者2）+Z（主持人）+U（未知门）= a+3b

参赛者1、2在选定之后，已经对C1、C2进行了赋值，即C1=C2 = ¼a +¾b

主持人没有资格开参赛者的门，所以只能改变U出现a的概率，不能改变C1、C2。

所以，你无论加多少个参赛者都是一样的，只要是参赛者之间互换，中奖概率就不会改变。