拓扑学上的紧致性怎样理解？有何运用？ 第1页

谢邀：紧性是空间最重要的性质之一，所谓的理解是建立在应用基础上的，离开这些例子，光靠解释是没用的。反过来，如果你都知道一些例子，你自己大概也能归纳出来。本质上紧性是允许我们像处理有限维空间那样处理一些无限维空间。 特别的的，连续函数在一般的拓扑空间上的有界闭集上不一定有界，但是在紧集上确是可以达到最大最小值。我在下面的回答中列出了大量有限维和无限维上“函数”的区分：

能不能把泛函简单地理解为函数？ - dhchen 的回答 - 知乎

就算是一个拓扑里面紧性也可以定义两种：紧和列紧。为了讨论方便，我只谈列紧性。对于一个（列）紧集， 必然有子列 收敛到某个点 。紧性的用处很大，下面我举两个例子：

第一，利用紧性得到某个极小值，然后这个极小值可以推出所要的数学结果。比如，它可以证明代数基本定理：

第二，偏微分方程上证明解存在性的一个思路是这样的：为了解 ,我们首先找出容易解的一列方程 使得 ,算出他们的解 ,然后证明它们在一个紧集合内，自然你可以找出一个极限 ,于是我们有 。下面我举一个例子。

第三，很多偏微分方程等价于某个拓扑空间上泛函的极小值问题：

研究增这类泛函极小值的方法：变分法的direct method里面第一条就是利用紧性来证明极小值的存在性。举个例子：带有第一类边界条件的

弱解的存在性等价于

在希尔伯特空间 上泛函极小值。level set

在某个弱拓扑下是列紧的，从而基于这个泛函的弱列下半连续性可以推导出极小值是存在的。