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如何构造一个初值,使得这个数列是发散的? 第1页

  

user avatar   emoji-29-79 网友的相关建议: 
      

只考虑 。

我仔细算了一下, 时候,可以找到你需要的发散的复初值的例子。 的时候,没有这样的例子。 ,我还不清楚,计算量有点大。

首先我们把迭代对应的矩阵 写出来,

这里,把 看成是列向量,左乘 ,就得到了 。我们希望在 的时候,验证 的无穷到无穷范数一致有界。为此,我们利用傅里叶分析的方法。令 ,定义 。

则, 是 的 重卷积在 处的取值。所以,利用Fourier逆变换公式,

令 。对于 , 。并且, 。针对 ,我们有如下估计:

引理:假设 , ,存在 和 ,。

从而, 。(可以用定积分估计,把 想成是被积分变量 ,可以大致化成一个高斯型积分。)

引理的证明:定理的证明就是一串渐近估计,最后转换成高斯积分的Fourier变换。首先,

可以看出来,对于 ,存在 , 。所以,对于 ,

所以, 记

注意对于 ,由(1)式,

所以,

综上,引理得证。


对于 ,注意 ,取 使得 , 即可。如果你希望 是个实数值的,我还不知道有没有例子。

下面是原回答。


好像 时,你给出的 就可以。

考虑 。则,可以归纳的证明 。而 。所以, , 且 时,上式严格大于 。必然趋于无穷。通过讨论 ,大致能做到 的情况。接下来比较困难了。




  

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