压缩映射定理为什么可以证明隐函数定理？ 第1页

隐函数定理是说，如果 ，并且 满足一些条件，那么在这个点 的局部，在方程 中可以对每个 解出唯一的 。（ 是赋范向量空间）

主要想法是，因为 非线性不好处理，我们在局部对 进行线性逼近。不妨设 、 。这样，假设 可微，就可以 Taylor 展开 ，其中 是有界的线性映射，余项 比线性映射接近0的速度更快 (sublinear)。因为我们希望对固定的 有唯一的 ，自然我们就要求 是可逆映射（不然能找到一个子空间使得 的值相同，这样 振荡一下就能让 不唯一）。

下面就要解方程 。这里 接近0的速度很快， 是有界线性映射，所以我们希望 接近0的速度很快，这样在局部通过迭代就能找到这个解 （想象对一个在原点附近和一条水平线相切且过原点的一元函数进行迭代）。我们希望 是有界线性映射，这就要求 是完备的空间。这样就可以找一个原点附近很小的邻域迭代找出 ，也就是利用压缩映射原理。因为线性映射 会根据 值变化，为了让估计成立它们不能在局部振荡太大。这样就要求 在这一点连续。

有了这些条件就可以找出 了，它的导数，如果存在，一定等于 。再用基本的估计方法就可以了，如果不行就再想办法缩小邻域，毕竟 在原点附近是 sublinear 的......

然后如果把整个证明完整写下来，就发现实际上我们对 没有任何要求，如果把 放进 里面， 都不一定需要存在。所以 Zorich 说了， 不需要是赋范向量空间，只需要是拓扑空间。

这样我们的隐函数定理就是：

设 是拓扑空间， 是 Banach 空间， 是赋范向量空间， 是点 的邻域，映射 满足 (i) 、(ii) 在 点连续、(iii) 对 可导，并且 在 点连续、可逆。那么存在 的邻域 以及映射 使得 (iv) 、(v) 满足 当且仅当 、(vi) 在 点连续。
如果进一步假设 在 中连续，那么可找到适当邻域 使得 在 中连续。
如果进一步假设 是赋范向量空间， 在 中存在、在 点连续，那么 在 点可微，并且 。
如果进一步假设 ，那么可找到适当邻域 使得 。

如果这些条件差一点，都会有反例的。比如，我们学校有个著名教授说，存在一个可微函数 使得 处处有界、可逆，但 在原点附近没有反函数。不过如果 是有限维空间，那么可以把 在 连续的条件弱化成在某个邻域中处处可逆。我还没想出来这个结论如何证明。

隐函数存在唯一定理：

设 、 和 是三个Banach空间， 、 分别是 、 中的开集，设函数：

是 光滑的，且存在 使得：

,

则在 的邻域上存在唯一的函数 满足：

1. ,
2. 是 光滑的.

注意到以下几个事实：

1. 闭集上的所有函数可以定义一个Banach空间，实际上有一个经典的函数度量 ，我们把 上的所有函数在这样度量下定义的度量空间称为 ，那容易证明这是一个Banach空间；
2. 隐函数满足的性质是函数空间上的一个等式，可以构造不动点；
3. 我们的目标是证明存在唯一性，不动点也是存在唯一的。

以这样的目的，我们可以构造一个映射 :

如此只要我们找到这个映射的不动点，我们也就找到了隐函数。

而我们需要的就是说明这个映射是压缩映射，而这一点的关键就在于利用微分中值定理，以及闭集上的连续函数总是Lipschitz的这一点，利用Lipschitz常数控制函数的导数从而使得 是压缩的。

证明中地关键步骤在于说明

也就是我们可以精确地控制这个偏导的取值范围，但是这一点其实不难，因为我们要求了 ，所以在一个闭邻域上很容易做到这一点。

更进一步地，思考这一点的意义，之所以我们可以找到这样一个隐函数，是因为在这个闭邻域上 式的成立，而这就说明在这个局部上 对 存在一种单调性，正是这种单调性，使得我们能够构造一个“稳定”的压缩性质.