如何证明 π＞3.14？ 第1页

谢邀，本题是可以用初等方法解的

事实上，2003年东京大学高考考过这道题的，不过考试时间一道题只有25分钟，所以只要求到3.05

原题翻译：试证明，圆周率大于3.05（问1）

按照知乎中的本问题引申：试证明，圆周率大于3.14（问2）

积分做法也可以做，具体参见请证明3.141<π<3.142：放缩到这么小的范围——大阪大学2013年高考附加题第二题（纯理科）

这里我们换一个思路考虑圆的几何定义，也就是割圆术来找到圆周率的范围。

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对于问1来说，正十二边形已经足够

我们截取其中的一个小三角形

弧 的长度是 ，内侧的弦 的长度的话，根据余弦定理是

所以有

我们知道

所以

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对于问2来说

显然十二边形不够我们计算到3.14。

我们知道如果割到 边形，根据第一问的算法

有

也就是

我们的目标是 ，所以我们的目标是找到一个 使得

也就是证明

由于在笔算的时候，计算方便的只有半角公式。（笔算开方即可，日本教材内会讲，国内要不要求就不知道了）

开 2 次方可以手算，但开 n(n>2，n∈Z) 次方有手算的方法吗？

所以考虑内接正 边形。

根据半角公式，

由于 ，所以

同理 ，同理

所以

也就是 ，又根据

所以 ，所以 得证

总共需要手算开平方三次……不过至少是能够笔算的……细心一点的话

更新：2018.1.12

补一个另外的积分做法

所以

得证

我给出两种方法

一种是具有两千年以上历史的初等的古典的证明方法

为此先考虑一个数列问题：

数列 、 ，满足 ， ， ， .

求数列 、 的通项公式.

这两个数列的通项公式并不很难求，有兴趣的同学可以自己想办法去求，我就直接写答案了：

（ ）

实际上，如果你能注意到三角恒等式

，

那么这个数列的通项公式是非常好求解的

注意不到也没事，有其他的更常规的换元法，比如：

，

由此两式消去 , 可得

得

令

则有

，

令

由数学归纳法， （ ）

（ ）

其中

即

所以：

（ ）

本题还有其他方法，不再赘述

而 和 的几何意义，分别是圆的外切正 边形的周长与圆直径的比值，以及内接正 边形的周长与圆直径的比值

那么当然有

*实际上，这里的闭区间列 构成了一个非常典型的闭区间套，并且所有区间端点都是代数数，最后却构造出了一个超越数

我们令 为圆的外切正 边形的边长与直径的比值（半边长与半径的比值）

令 为圆的内接正 边形的边长与直径的比值（半边长与半径的比值）

那么很显然

，

为了简单起见，不如令半径为1

图中

过点 作圆切线交 于点 ，交 于点

那么

（因为 且 ）

由几何关系

（相似三角形）

即

显然有

（勾股定理）

即

这就从几何意义解释了刚刚那个差分方程组

这个方法是谁发明的呢？是阿基米德

算到第五项的时候，就可以得到

所以有

两千多年前，阿基米德也正是算到第5项，即圆的内接和外切正96边形周长，才得到3.14这一圆周率近似值，这是当时最精确的数值，直到数百年后刘徽打破了这一记录

另外，很容易验证，这样的迭代，对 的逼近，是按一阶速度收敛的，所以这并不是一个很快的迭代法

再介绍一种收敛很快的方法，是一种级数法

利用级数

证明一下：

（一）几个不定积分

求

解：

求

解：

令

，

（二）几个定积分

求

解：

所以

（三）

注意到

代入

，

，

，

，

（四）

这样：

这是个收敛速度非常快的级数，前两项之和就大于3.14了