为什么不能用 0 做除数？ 第1页

谢邀, 关于这个问题, 回顾数系是怎么构建起来的, 就显而易见了. 原本打算留到写专栏文章时来解释, 迟迟未动手, 就借着这个答案来说说.

0. 概述

要了解"0 为什么不能做除数?"这个问题. 我们有必要回顾一下数字(从自然数, 整数, 有理数, 到实数, 复数)是如何"诞生的". 考虑到以回答这个问题为主, 以及篇幅问题, 我们就只谈到有理数为止(到这里已经足够了.)

为此, 我们先了解两个需要了解的知识点.

0.1. Z-F 集合论之无穷公理

Z-F 集合论九条公理确立了集合论的基础, 这些公理分别说明了集合的表示, 构造方法, 以及性质. 其中, 数字诞生的起点, 就是其中的"无穷公理":

无穷公理肯定了无限集的存在.

0.2. 等价关系与商集

数学中, 有一种关系可以说是最基础, 最常见的, 那就是等价关系. 定义集合 上一个关系" "称为等价, 当其满足以下三条性质:

1. (自反) ;
2. (对称) , 若 , 则亦有 ;
3. (传递) , 若 则有 .

一个集合 中的元素, 可以借由定义其上的一个等价关系进行分类(也就是说, 等价的的元素归为同一类, 称为等价类), 由这些等价类构成的集合, 称为集合 的商集.

举个例子:

可以验证"同余"是正整数集上的一个等价关系, 我们如用"模7同余", 可以将所有的正整数分为 7 个同余(等价)类, 我们可以给他们命名, 比如七个类分别为"星期一", "星期二", ......, "星期六", "星期天".

有了以上知识, 现在可以开始构建数字了.

1. 自然数, 整数, 有理数的构造

1.1. 自然数集.

由无限性公理, 我们可以自然导出以下无穷集合: , 我们可以给这个集合中的元素命个名:

;

,

........

就这样, 我们就有了自然数集. 我们用 表示.

1.2. 整数集

由 , 可以按照以下等价关系构成商集 :

当且仅当 .

其中加法为一般意义上的加法. 容易验证这是一个等价关系. 它在 这个集合上生成的商集是什么样的呢? 举几个例子:

可以试试看, 以上两个例子中, 六个元素就分别在两个不同的等价类中, 我们可以取每个等价类中的一个代表元素来代表这个类, 事实上, 上面两例就是整数 和整数 .

自此, 我们就有了整数集 .

1.3 (高能预警)~~有理数集

由 , 我们可以按照以下等价关系构造商集 :

当且仅当 .

其中乘法为整数集中一般意义的乘法. 容易验证这是一个等价关系.

(重点来了), 这里有两件事值得注意:

第一, 就是这个等价关系是 上的, 对于其中任意的元素(有序二元组) , 其第二分量是不能为零的.

第二, 一般书籍上说, 有理数定义为既约分数 形式. 这里构造商集的等价关系, 若改用"除法"的形式写出来, 正是隐含了这个意思. 举个例子:

就这样, 我们定义出了有理数集 .

3. 回归问题本身

那么现在我们来看看题主原来的问题: 为什么 不能用作除数?

我们看看有理数集的定义, 若是允许 0 做除数, 也就是说, 我们让以上等价关系定义在 上, 而不是 上, 会出现什么结果?

首先, , 这是显然的. 那么用以上等价关系将 分类, 会做出几类呢?

我们看看哈......随便举一例....

完蛋了, 任意元素都和 等价!!!, 这就是说, 所有元素只归为了一类!!! 我们要干的事情不是要扩充数域吗???? 只归为一类这不就毫无意义了吗????

到这里, 大家是不是就明白了, 为什么不能用 0 做除数的原因了呢? 至于之后的实数, 复数, 都是进一步在有理数上通过相应的等价关系构造商集而生成, 自然, 这个性质也就继承下来了.

写完答案一看, 哈, 2019年了. 那就以此回答开年, 从“ 0 ”开始, 祝大家在新一年学有所成. 新年快乐了!!!

2019.1.1 凌晨00:20