微积分之后，现代数学有哪些新的革命性工具？近年来物理理论没有突破，是不是微积分不够用了？ 第1页

革命性的工具和进展多了去了，事实上数学在微积分之后才迎来了大发展，诞生的革命性理论/工具相较于过去2000年也不遑多让，我就想到哪写到哪了。

首先是微积分理论（学名：分析理论）的完备补全。牛顿，莱布尼茨时代的微积分是有很多缺陷的，比如说无穷小量的概念定义不清等，这一问题遭到了贝克莱等人的攻击，从而引发了第二次数学危机。在这之后，魏尔斯特拉斯，达朗贝尔等一大波猛人前仆后继，最后才建立了完整清晰的极限理论与微积分理论[1]。

当然这个只是补全，属于填坑擦屁股型工作，所以就权当开胃小菜。现在坐稳了，我们要加速了。

在微积分的基础上，分析学发展出了实分析理论。

实分析研究的是实变函数（从实空间到实空间的函数，是的微积分里面的几乎所有函数都是实变函数）的理论，主要包括实数空间上的点集拓扑，集合的测度与积分理论（代表产出：勒贝格积分）[2]。实分析理论的发展则顺便带出了一个副产物——测度论。而测度论则在一段时间之后成为了现代概率论的基础。实分析的发展可以让我们有手段处理各种怪物函数（比如狄利克雷函数，在有理点取1，无理数点取0），而且还让积分更好算了——微积分中的一个老大难问题就是各种改换次序的问题，例如积分运算和极限运算交换顺序，积分运算和求和符号运算次序的问题（是的，这些运算不能就这么简单地交换顺序，虽然我有物理系的同学告诉我他们不怎么care这些，笑），在传统的数学分析理论中，这玩意儿需要大量佶屈聱牙，极其丑陋的条件，但到了实分析，或者具体来说，勒贝格积分的框架下，积分运算的各种交换顺序问题就变得非常简单舒服，我们分析各种怪物函数也变得相对方便。同时，实分析理论的发展还进一步带出了另一个巨坑——泛函分析。

有了实分析之后自然发展出来了所谓的泛函分析理论。当然泛函分析也被人戏称为是无穷维空间上的线性代数，不过这门学科感觉分析的味道还是很重的。

泛函分析从直觉上来看的想法是将某一类函数看作无穷维空间上的点，那么这些函数可以构成一个无穷维向量空间。于是我们可以通过研究无穷维空间的性质（例如正交基，无穷维空间中向量的正交分解，内积，开闭集和收敛性），从而得到某一族函数的性质。例如著名的傅里叶展开，站在泛函分析的观点下看，其实就是一个向量在无穷维空间中按照某一个正交基进行分解展开[3]。泛函分析理论可以被用于研究大量的物理方程（诸如热传导方程此类），还被应用于现代非参数统计理论。

除此之外还有复分析理论。复分析理论简单来说就是建立复数到复数的映射的分析学（可以理解为微积分理论）。可导函数被延拓到复数上的所谓解析函数之后出现了大量美妙神奇的性质，其神奇诚度不亚于你给自己的电脑装了个新的GPU，结果发现它现在还能被用来当作洗碗机一样。例如，在实数微积分的框架下，我们知道一个函数可导不意味着它任意阶可导。然而，在复变函数理论中，一个解析函数（可以理解为在复数上可导的函数）如果可导，那么它任意次可导。当然除此以外还有大量非常神奇的结论，比如说有界解析函数必定为常值函数，某些函数的围道积分必然为0，n阶多项式的所有零点一定落在复数域内等等等等[4]。复分析理论的物理应用自然非常广阔，通信电力领域中复分析的应用海了去了

然后就是著名的微分方程理论，这玩意儿有着极其鲜明的物理背景，甚至很多学校本科的偏微分方程课用的教材直接就叫《数学物理方程》。偏微分方程方法在物理学中的应用就不必多说了吧。。。解各种热传导方程，算变分法等等等等。

分析学到了19，20世纪还发展出了调和分析理论，这门理论一开始研究的是函数的傅里叶展开，但是到后来据说已经拓展到了各种奇奇怪怪的抽象集合上，到如今已经成为了现代分析学最大的主流方向之一。这门理论我的理解有限，就不乱说了。

在古典的解高次方程基础上，代数学发展出了线性代数理论。

是的，题主问的是自微积分以后革命性的数学成果，线性代数显然是微积分之后的革命性的数学成果对不对（滑稽。线性代数主要研究有限维线性空间上的线性变换理论，用人话说就是矩阵。以线性代数为基础，人们还发展出了多重线性代数和张量理论[5]。线性代数和张量在物理上的应用。。。不对，应该问哪门理工科不应用线性代数

当然，线性代数显然不过瘾，在微积分被发明出来之后的大约200年后，一个叫伽罗瓦的天才（在死前）发明出了群论，这门理论拓展出了一个深坑，被称为抽象代数。

抽象代数完美符合题主想要的“革命性工具”这一需求，这门理论基本宣告了近现代代数学的诞生，革新了数学界的思想，广泛应用于物理学，在数学系则与泛函分析并列，被许多人认为是质变级别的课程。抽象代数的方法，简单理解就是，用结构的思想来看数学。许多数学对象往往具有潜在的相同的结构，那么我们可以从中抽象出这种潜藏在深处的结构，然后直接对这个结构本身进行研究，然后用这个结构的性质反推出我们感兴趣的具体对象的性质。例如伽罗瓦就定义了群这一概念，然后敏锐意识到了高次方程的解的性质可以被群论描述，因此我们可以通过群的性质反推出方程解的性质。群论的威力相当之强悍，伽罗瓦用群论的语言一口气解决了几个困扰人类几千年的数学难题：五次方程的求根公式（被证明不存在，换句话说构造这样的求根公式是不可能的，如果你构造出来了，说明你构造错了），尺规作图三等分任意角的算法（被证明不存在），尺规作图倍立方体的算法（被证明不存在）。

在群的基础上我们还可以进一步定义环，域，模这样的代数结构。总而言之，抽象代数理论所蕴含的思想是非常之有趣的。比如数论中的费马小定理，用初等方法证明要证将近一页纸，其中布满各种奇怪的下标记号和繁琐的分类讨论，让你感叹数学这门学科怎么能这么丑陋。但如果用群论中的拉格朗日定理的话可以直接两行字搞定，其构造又自然又优美，让你感叹数学这门学科怎么能这么优雅（逃[6]。

抽象代数理论被广泛应用于现代数学和物理。量子物理学里面我记得有抽象代数的应用，杨-米尔斯理论好像也是用群论描述的。

到了19世纪末，代数学又酝酿出了一个被称为代数几何的领域。代数几何领域起源于对代数方程零点的研究，后来在20世纪中叶，一代神人亚历山大·格罗滕迪克的引导下成为了一门全新的，极其抽象而又内容丰富的学科（然后他就急流勇退，40岁出头归隐山林），至今依然是数学界研究的最前沿，最火热，最吸引年轻人的学科之一。代数几何在弦理论中据说有着广泛的应用，就是威腾那一大票人在搞的东西。我在这方面水平有限，就不乱说贻笑大方了。

除此之外，现代代数学的发展与各个数学内部学科的交流融汇又催生了一大批新的方向。例如代数拓扑，代数数论，算术几何等等等等，它们中的一部分同样与物理有着不小的渊缘，就不班门弄斧贻笑大方了。

当然还有的话就是范畴论，这玩意儿也可以算作是现代数学的突破性成果之一。。。？特点是不说人话，直达各种数学结构底层（所谓的“Category”），被一些人吐槽为Abstract Nonsense（抽象的废话），据说十几页/几十页之后才有第一个具有实质性内容的定理[7]，反正我看了没几页就跑路了（逃。不过这门学科是代数几何的基础，是代数几何研究者不能忽视的重要科目（朋友所言）。

在几何学上，具有革命性的成果也不少。比如微分几何和黎曼几何就是很好的例子。

黎曼几何理论（以及再之前的罗巴切夫斯基几何）对欧几里得几何学第五公设的突破至今都是各种数学史文章津津乐道的公案之一。简而言之，古典的微分几何通过微积分研究各种曲线曲面（挠率，曲率，正则曲面等等等等），现代的微分几何据说在研究一般的微分流形。黎曼几何则一统传统的欧式几何，罗巴切夫斯基几何和他本人的黎曼几何（分别对应于曲率0，负和正的情况），引出了20世纪最惊天动地的物理理论之一——广义相对论。恐怕连黎曼本人都不会想到，他的研究居然被爱因斯坦用在了物理理论上。

几何学的另一个屹立至今的研究领域是拓扑学。拓扑学是一门画风相当特立独行的几何学，堪称几何学中的奇行种。

在传统的几何学中，我们关心的是诸如角度，长度，面积，曲率，挠率这样的具体的值。但这些性质在拓扑学里统统不存在。拓扑学关注的是几何图形(学名：拓扑空间）的一些抽象，晦涩，难以把握的性质，比如说这个图形上面是不是有个洞，有几个洞啊，一笔画问题啊等等等等。严格来说，拓扑学关心的是拓扑空间（俗称：几何图形)在同胚变换下保持不变的性质（可以近似理解为连续映射）[8]，所以面积，长度这些度量在拓扑学意义下直接失去了性质（而有一些性质则变得有意义，比如说有几个洞）。

当然从直觉上来说，这玩意儿也太难以建模了，毕竟类似于洞这样的概念难以捉摸，而各种几何体又千变万化。而这也是拓扑学理论的有趣之处：它真的找到了一套描述这些现象的语言。比如说，在代数拓扑中，数学家用一种极其之匪夷所思的方式在曲面上建立了一个群结构（曲面的第一类基本群），这种群结构可以被用于刻画曲面的诸多性质（比如说，有没有洞）。当然，拓扑学显然不至于数洞洞，它在现代物理等诸多理工科的理论中扮演着重要角色，比如你可以参考 @文小刚 的回答。

进入20世纪，概率论的研究也取得了革命性的突破。

在此之前，概率论的研究一直不愠不火，究其原因，大约在于概率这玩意儿数学家一直没有一套统一的框架描述，甚至早期拉普拉斯，棣莫弗等人对概率的描述还存在循环定义的隐患，这也导致这门学科内部各种悖论层出不穷，比如著名的贝特朗悖论（单位圆内任意拉一条弦，其长度小于 的概率是多少？三种不同的解法可以得到三个不同的概率）。这些问题导致概率论常年处于数学界的鄙视链底端，和统计是难兄难弟（笑[9]。

直到20世纪初，概率论终于由苏联数学家柯尔莫哥洛夫完成了公理化，开启了现代概率论（顺便一提，这家伙也是个神人，70岁了还敢打赤膊滑雪，据说还在学术会议上和人大打出手，堪称最武德充沛的数学家，不愧是俄罗斯人）。柯尔莫哥洛夫用测度论的语言定义了概率论的总体框架，从而终于完全说清楚了概率。自此以后，广大数学家才对概率论有了一套共同的语言，也才终于可以一起齐心协力地建造巴别塔。当然，现代概率论更重要的意义在于，通过测度和可测函数概率的手段令一大批分析学方法也被引入了概率论中（例如控制收敛定理， 范数，微分方程理论）[10]，因此到了20世纪，概率论取得了大量成果，例如对各种随机过程的研究，随机积分的发展等等。概率论被应用于统计力学和金融数学。至于金融数学和概率论的联系，大约是各个量化投资公司吸收了大量毕业的数学/物理/统计/CS PhD 吧（逃

除了纯数学的各支以外，自微积分以来，应用数学的诸多领域也取得了革命性突破。比如说曾经概率论的难兄难弟统计学。18世纪，高斯就通过最小二乘法拟合天体运行轨迹。到了20世纪，在费舍，高尔顿，Rao等著名统计学家的推动下，现代的估计，检验方法和回归等模型相继被确立。同时，由于众多经典模型往往仅仅适用于正态分布数据，对于其它类型的复杂数据无以为力，统计学家建立了所谓的非参数统计学。非参数统计方法只需要数据符合非常弱的假设（例如对称，矩存在，甚至是可测）就可以应用，从而避免了诸多传统方法只适用于正态数据的问题。

在20世纪下半叶，随着计算机算力的提升，机器学习/统计学习这一领域应运而生并被广泛应用于诸多自然科学，社会科学问题中的数据分析[11]。到了现代则又有了类似于高维统计，计算统计学，代数统计等新方向。

至于统计在物理学中的应用嘛。。。经验科学哪有不分析数据的（逃

除此以外，还有诸多纯数学/应用数学的革命性工具/方向没有在这篇文章中列出，比如图论，组合数学，（解析/代数）数论，计算数学，理论计算机科学，运筹优化，控制论等等等等

所以可能和题主的直观感受相反，在近现代数学产生了空前的发展，各种革命性成果层出不穷，微积分可以说只是一个序幕，之后的那一堆你要在本科高年级/研究生遇到的那一堆牛鬼蛇神才是真正的正菜。

最后声明一下，本人的数学基本属于半吊子水平，所以对一些领域的描述可能没法做到那么详细，甚至可能有小错误。因此欢迎大家批评指正。

参考文献（不严谨的）：

[1] 邓东皋，尹小玲，《数学分析简明教程（第二版）》，高等教育出版社

[2] 黎永锦，《实变函数讲义》，四季出版社

[3] John B. Conway, A Course in Functional Analysis(Second Edition), Springer

[4] 龚昇，《简明复分析》，因为书不见了所以忘了是哪个出版社

[5] 蓝以中，《高等代数简明教程》，北京大学出版社

[6] J. Hoffstein, J. Pipher, J.H. Silverman, An Introduction to Mathematical Cryptography(Second Edition), Springer

[7] Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, Springer

[8] 尤承业，《基础拓扑学讲义》，北京大学出版社

[9] 李贤平，《概率论基础（第三版）》，高等教育出版社

[10] Rick Durret, Probability: Theory and Examples (Fourth Edition), Campridge University Press

[11] Trevor Hastie, Rober Tibshirani, Jerome Friedman, The Elements of Statistical Learning (Second Edition), Springer

物理理论何时只使用微积分了，线性代数群论，还有复变泛函被你吃了么；动力系统就更不用说了。