一堆n维空间的由m个点组成的点集，m大于n，我们只知道它们之间的距离，能否判断所在空间的维数？ 第1页

先规定一些记号。记点集 ，已知的距离为 ， 能等距嵌入的欧氏空间的最小维数记为 . 题主的问题相当于是问，一个有限的度量空间是否能等距嵌入欧氏空间，如果能，维数是多少。先放结论. 定义m+1阶矩阵 ，则

1. 至少可以嵌入 维欧氏空间；
2. 如果 ，那么 ;
3. .

我们先来看一些最简单的情况。首先，如果平面上已知两个点和第三个点到两点的距离，那么找到第三个点的方法，就是分别以这两个点为圆心、已知的距离为半径画圆，交点至多两个，就是我们要的。如果这些点的距离满足三角不等式的话，那么一定有交点。进一步，如果已知是三个点的话，那么就改为画球，三个球的交点即为所求。这个观察告诉我们：如果前面若干个点已知，那么多加一个点，升高一维一定有解。因此利用归纳法很容易证明，嵌入的存在性是没问题的，并且还有不等式：

若 是 与 的无交并，那么 . 特别地， .

但也许这些点位置比较好，不需要m-1那么多维数。这时我们需要第二个观察。再来看三个点的情形，如果三点共线，比如 顺次共线，那么必然有 。但是如果我们没有意识到共线，直接用海伦公式算三个点构成的三角形面积：

（其中 ），那么有一项等于零，因此 . 这就启发我们寻找高维的海伦公式，如果算出来高维体积等于零，那么低一维就够了。而这个公式是现成的——Cayley–Menger determinant：欧氏空间中这m个点张成的单形的m-1维体积满足 .

这个公式的证明很容易，就是利用m-1个向量张成的体积是这m-1个向量的行列式这一事实，然后做一通矩阵变形。具体证明过程就不摆出来了吧。根据这个公式以及证明过程我们就能得到后两个结论。

最后做一点注记。在实际生活中，因为有测量误差的存在，给一个行列式基本上都不等于零。因此我们可以考虑去估计误差。这时如何定义误差就是工业上很重要的问题。比如有一件板材，随机测量上面的若干点。如果直接计算的话，这些点都有可能不能嵌入三维欧氏空间了。但是相差一个小误差的情况下，这些点基本上是在一个二维平面上的。但是如果这个误差过大，就意味着板材不够平，从而有可能不合格。那么如何定义这样的误差就很重要了。前面的公式也许可以给一些方向，但是肯定不能直接用，因为计算一个超大矩阵的行列式基本上是不可接受的。

而在数学上，我们其实更关心无限个点的问题，如果这些点是连续的那么可以理解为黎曼流形的等距嵌入的问题。但是更像这个问题的风味的是离散的情况。这个时候同样可以允许一定的误差，那就基本上是Gromov提出的粗嵌入问题，嵌入的对象可以是欧氏空间，或者是可分Hilbert空间，或者是某些Banach空间。这种粗嵌入问题在几何群论里面有很多应用。