这个猜实数的游戏有没有必胜策略? 第1页

很有意思的问题，想了下，发现有必胜策略等价于连续统假设。

如果 .此时，不妨就用 代替 来玩这个游戏。

对每个序数 , 取定一个 上的偏序 使得 与 是序同构，玩这个游戏的三位数学家要事先记住所有这些序同构。那么这三个数学家玩这个游戏的策略就是：当某个人看到另两个人的帽子上的序数是 时，他就猜 .

然后说明，这确实是一个必胜策略，如果三顶帽子上的序数是 ,并且 , 那么在全序 里的元素 一定能比较出大小，那么头戴 或 帽子中较小号码的那个人肯定猜中了他戴的帽子上的数。

如果 ,我们说明此时任何策略都不能保证猜出所有的三元组 .采用评论里甜甜甜菜同学的思路。三个人各自采取了一个策略，每个策略其实是一个 到 的映射。假设这三个策略是 ， 如果是赢的策略的话，那么就是对于任意的 都有 或 或

取出 和 , 然后取出 ，

必定存在一个 使得 ,这样 对每个 都成立。

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最后，我觉得应该有这个结论： 个人玩这个游戏是有必胜策略当且仅当 .

如果是可数无穷个人来玩会怎么样呢？

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2.20更新：

说一下两个人猜零测集玩这个游戏的必胜策略的条件。为此，要介绍关于零测集的几个基数特征：

表示多少个零测集的并不是零测集的临界基数；

表示最小的不是零测集的实数子集的基数;

表示最小的能覆盖实数集的零测子集族的基数。

表示所有零测集形成的集族。

不难知道：

除此以外并没有在ZFC下可以证明的关系。在科恩力迫模型里， . 而在random real 的力迫模型里，则是 .

这些可见 Bartoszynski 和 Judah的 set theory: on the structure of the real line.

就是说， 与 这两个关系都是独立于ZFC的。因此，下面的结论将说明，这个游戏有没有必胜策略是独立于ZFC的。

下面证明：两个人玩猜零测集的游戏里，

1，若 ,则这两个人没有赢的策略。

证明：设 不是零测集，如果 是这两个人的赢的策略，即它们都是从 到 的映射，满足 ,

由于 可知 不是覆盖族，于是可取一点

, 这样就有 对所有 成立，这就与 是零测集矛盾。

接下来本来我想去证明如果 , 则这两个人有赢的策略,但是却卡主了，只能去证明下面的弱一点的结论：

2， , 则这两个人有赢的策略

证明：如果 ， 则取出基数为 的零测子集族 覆盖了实数集。这时，对 , 都可选取一个序数 ,使得 .那么这两个人玩这个游戏策略就是，当看到另一个人头上的帽子是实数 时，他就猜测集合 (这是小于 个零测集的并，确实还是零测集)。 如果两人的帽子上的数字是 的话，那么 较小的那个人肯定猜中了自己帽子上的数。

现在的问题是：如果 (这也是与ZFC相容的)，我就不知道这两个人玩猜零测集的游戏是否有必胜策略了。

当然如果以上将零测集换成第一纲集或者别的什么理想的话，也是一样的。比如可数集理想 的那几个基数特征比较容易算, , ,所以可以得到两个人猜可数集时 有必胜策略当且仅当 .