是否存在不可数个实数，其中任意有限多个在有理数上线性无关？ 第1页
1
lljpcz 网友的相关建议:
高代上讲的线性无关，一般是指有限个向量线性无关。
如果要讨论无限个向量线性无关，就需要定义广义线性无关集，这里广义线性无关的定义就和你题目中提出的一样，即
我们称一个向量集（可以有无穷个元素）是广义线性无关集，当且仅当它的每一个有限元素子集是线性无关集。
在不引起混淆的情况下，我们可以将“广义”省去。
利用这里的广义线性无关的定义，就可以定义广义基，即Hamel基。即一个向量集里的每个元素都可以被唯一的表示成其Hamel基中有限个元素的线性组合。
在这个意义上，我们可以证明以下命题是选择公理的充要条件:
任何一个向量集都有Hamel基。
必要性很好证明，利用Zorn引理，模仿一下另外一位答主的作答即可。
充分性据说不容易？我贴个链接http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf
最后，如果要说明实数在有理数域上的任意一组Hamel基都是符合要求的集合，只需要再说明这组基不可数。
反设它可数，那么全体实数可以可列个元素的某个有限子集的有理线性组合表示出，这意味着实数可数，产生了矛盾。
1
相关话题
如何证明下面有关紧致集合连通性的问题？没有基的线性空间，是否可以构造，如何构造？
f(x)[x是向量]满足什么性质的时候才能使得f(x)＝c的一边是f(x)＞c，另一边是f(x)<c？
如何理解区间 [0, 1] 内有理数集合的长度为 0？
如何证明以下式子？
为什么有限维赋范线性空间中的范数是等价的？
有没有两个不相等的数 a 和 b，满足 a 的 b 次幂等于 b 的 a 次幂？
这个含正弦函数的和式极限怎么求?
若 a=0.248163264128256...，请问 a 是否为有理数？理由是什么？
简单光滑道路的不同参数表达 在其上积分是否一定相同？
前一个讨论
一个一般的二次型等于0，这个方程应该如何求通解？
相关的话题
ln(x)取值为超越数的条件是什么？你见过最恶心的函数是什么？
f（x,y)->(x,y),是2维实数空间的 一一映射函数，f连续，f的反函数是否也连续，why？
各位积佬们这个积分有什么好的思路吗？
如何思考这道定积分不等式？
如何理解区间 [0, 1] 内有理数集合的长度为 0？
认为大学基础物理比数分简单很多，是说明自己更擅长学物理吗？
这两个极限是怎么处理的？
如何证明这个级数恒等式？
为什么不存在收敛速度最慢的级数？
是否存在无理点不连续、有理点连续的函数？
如何判断级数lnn/n^2(从1到无穷)收敛或发散？
这个积分有人会不呀 我想不通?
学数学分析（高级微积分）需要看哪些书?
请问 这道微积分题怎么做？
为什么Abel定理是研究幂级数收敛性的基本定理?
请问如何证明该极限？
请问这个不等式的证明思路是怎样的？
数学这种东西也许有用，但是，如何在现实生活当中用到它？
怎么用实数系的公理证明0与任何数相乘都等于零（求大佬指教）？
这个9题不等式右边怎么证明呢？
这道题应该怎么处理？
是否存在这样一个连续函数f,定义域为[a,b],f(x)>=0的同时,有且仅有可数无穷多个零点?
如何证明不等式（来自小蓝本）?
为什么自然数的和等于 -1/12？
1-2+3-4+5+… 是否等于 1/4？ 1+2+3+4+5+6+7+… 是否等于 -1/12 ？
请问这道题用麦克劳林该怎么做?
对于所有的无穷小，能否把它们趋于0的速度定义为一个数，使得趋于0速度较小的一定是较低阶的无穷小？
数学分析中的习题能否在考研中当作定理直接使用？
请问怎样去证明？