是否存在不可数个实数，其中任意有限多个在有理数上线性无关？ 第1页
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lljpcz 网友的相关建议:
高代上讲的线性无关，一般是指有限个向量线性无关。
如果要讨论无限个向量线性无关，就需要定义广义线性无关集，这里广义线性无关的定义就和你题目中提出的一样，即
我们称一个向量集（可以有无穷个元素）是广义线性无关集，当且仅当它的每一个有限元素子集是线性无关集。
在不引起混淆的情况下，我们可以将“广义”省去。
利用这里的广义线性无关的定义，就可以定义广义基，即Hamel基。即一个向量集里的每个元素都可以被唯一的表示成其Hamel基中有限个元素的线性组合。
在这个意义上，我们可以证明以下命题是选择公理的充要条件:
任何一个向量集都有Hamel基。
必要性很好证明，利用Zorn引理，模仿一下另外一位答主的作答即可。
充分性据说不容易？我贴个链接http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf
最后，如果要说明实数在有理数域上的任意一组Hamel基都是符合要求的集合，只需要再说明这组基不可数。
反设它可数，那么全体实数可以可列个元素的某个有限子集的有理线性组合表示出，这意味着实数可数，产生了矛盾。
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