是否存在仅在一点可导且该点导数不为0的函数？ 第1页
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存在，如 .
首先，设 是狄利克雷函数
则 是仅在原点可导的函数。证明：
令 ，则
当 时， 显然不连续，则不可导。
现在，考虑函数 ，显然它在原点可导且导数为 ，在原点以外均不连续不可导。
的大致图像如下所示：
从图像中可以看到，在原点附近的斜率确实是 .
有一个处处连续处处不可导的函数，叫魏尔斯特拉斯函数（Weierstrass function），即
其中 ， 为正奇数，且 .
取参数 ， 最大算到 ， ，编程作图得：
令 ，有
因为 处处连续，即在任意闭区间有界，故 有界， .
当 时，猜想 不存在。
如果上述猜想成立，则 是一个处处连续，且只在一点可导，且该点导数不为0的函数。
取相同的参数，得到 的图像：
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