怎么解决这个积分题目？ 第1页
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网友的相关建议:
这题简直容易的不像话，我来把题目加强一下，诸位试试身手如何。接招！
有连续函数 满足如下条件：
对任意的满足 的多项式函数 ，有 。
求证： 恒等于零。
还嫌不过瘾？没事，再加条件，题目一样成立。再接招!
条件改成：
满足 的首一多项式，其他不变。
@inversioner @凌沧 @予一人 要不要来试试？
di-diao-de-zui-mo 网友的相关建议:
inversioner 网友的相关建议:
我来厚颜无耻地发我的笨方法。
从估计的角度来看，只需要估计出任何一个点的函数值都任意小就好了。这样的话需要把问题集中到一个点的邻域附近。为了统一起见，只证明 。边界点为零的证明请大家完成。
对任何 ，存在 使得只要 就有 。这由一致连续性(Cantor定理，闭区间上的连续函数一定一致连续)保证。取适当的值使得 。
取
画出来就是一个尖尖儿。容易验证这是一个连续函数。
则
其中第二个积分式子中用到了代换 。接下来
由积分中值定理 。故 。从而
。由任意性就得到命题。
更新。那位发起挑战的朋友匿名了，我at不了欸( ⊙ o ⊙ )
把他发的第一题写一写吧，第二题做法其实差不多。
令 ，则
。
容易证明， 都满足条件。所以令 ，则对任意 有 。由此可以推出 ，其中 为任意多项式。
由Weierstrass逼近定理，存在一个多项式序列 在 一致收敛于 。也就是说，对于任何 ，存在 ，使得 。这时有
可以任意小。
所以 。这表明 ，即 。而 连续，所以 。
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