如何证明该级数收敛? 第1页

这个问题在MSE上已经有人回答过了https://math.stackexchange.com/q/809346，先用summation by parts化简一下，注意到

记 ，则原式化为 。

上述恒等变形我们通常称作阿贝尔求和（Abel's summation formula)： 其中

下面，我们的重点是考察 的渐近形态，首先 会不会是一个有界量呢？很遗憾不是，关于 的无界性，陶哲轩亲自给出过回复，具体参见 sin (k^2)的前n项和有界吗？虽然无界，但是其可以被控制住，这里需要用到exponentiel sum的一个相关理论 weyl sum estimation。

通常 ，我们将形如 称作 Weyl Sum，其中 是一个实系数多项式。

(Weyl inequality for quadratic monomials) 对任意实数 满足 ，其中a为整数，q为自然数，且 。
（关于weyl inequality，可参考http://math.uga.edu/~lyall/Research/SarkozyGreen.pdf）

应用weyl's inequality(取 ， )

考虑

由weyl's inequality的lemma1：

可得

进一步，

这样， ；另一方面，由比较判别法也很容易得到 收敛。

（事实上，weyl's equidistribution theorem的推论有 ,这篇文章http://www-personal.umich.edu/~saykhan/content/notes/weyl.pdf有具体的介绍）

更一般的，我们可以考虑高次的情形 ，详见https://math.stackexchange.com/q/2270，作法差不多，也是要用到weyl inequality，只是阶的估计要更精细点。

我们有
。下面，

，其中 是 与离它最近的整数的距离；此和式还显然小于 。

这样就有 。

考虑 这 个数，则一定有一个长度 的区间包含至少两个数 和 ，因此，如果令 ，我们可以找到正整数 使得 。

注意到如果 ，那么
。所以

对最里面的和式，从每个 减掉一个适当的整数对 没有影响，因此可以把这些 都变成 中的数。如果选出那些非负的，从小到大排序，那么由上面的不等式，第 个 ，所以非负的那些组成的和式
同理，非正的那些组成的和式也不大于这个数，所以整个最里面的和式不超过 。综上，有
。

到这里我们还需要找到一个 的下界。从 我们有 。在这里我们用一个著名定理^[1][2]：存在 使得对任意整数 和充分大的整数 有 。所以对充分大的 有 。记 。

因此 。这就证明了第二个问题。对于第一个问题，

，所以级数收敛。

如果只需要证明第二个问题，那么可以用一个更初等的方法做，不需要引用那个证明很复杂的“著名定理”。然而第二个问题的结论比第一个问题结论弱。我希望第一个问题也可以通过某种技巧用初等方法证明，但我没想出来，就留给别的答主吧。

编辑：第二个问题其实不难，我之前想的方法太复杂。直接用上面的不等式可得 如果 ，那么 ，这样下面的估计可以优化成
，所以
。这样就有
。要让这个充分小，就需要让 充分大。实际上，只要 ，就有 。所以
。然而这个方法仍然证明不了第一个问题，还是因为推不出一个类似 的下界。

参考

1. ^ 比如 [2] 给出了 M ≤ 42；最新结论是大约 M < 8。
2. ^ K. Mahler, On the approximation of π, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 56 (1953), 30–42, https://carma.newcastle.edu.au/resources/mahler/docs/119.pdf