数列收敛的 ε-N 定义怎么理解？其作用是什么？ 第1页

反对 @Patrick Zhang 的回答，因为里面有很多错误。（看来 @Patrick Zhang 抄书抄错和自创历史的习惯都是根深蒂固改不了了）

先回答题主的问题。用 的概念来定义数列收敛是很直观的，直观上它所表达的就是：在数列极限存在的情况下，无论想要（在不重合的情况下）离极限多近，只要走得足够久就可以达到目的并一直保持下去。

接着说一下 @Patrick Zhang 回答中的各种错误：

1. @Patrick Zhang 在其回答中所说的：

英国大主教贝克莱把无穷小量比作数学的鬼魂，由此来证明神的存在。

是错的。

首先，乔治·贝克莱（George Berkeley）并不是 @Patrick Zhang 主观臆测张口就来的『英国大主教』，而是圣公会驻爱尔兰科克郡克洛因镇主教（Bishop of Cloyne）。

其次，贝克莱并没有『把无穷小量比作数学的鬼魂，由此来证明神的存在』。作为哲学家的贝克莱在他的著作 The Analyst 中的原话是：『And what are these Fluxions? The Velocities of evanescent Increments? And what are these same evanescent Increments? They are neither finite Quantities nor Quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them the ghosts of departed quantities？』他用鬼魂来形容无穷小量的目的是质疑牛顿等数学家所使用的微积分的严谨性，跟 @Patrick Zhang 所谓的『证明神的存在』并没有任何关系。

2. @Patrick Zhang 在其回答中所说的：

但经过柯西用极限的方法定义了无穷小量，微积分理论就此完善。

是错的。

柯西并没有给出我们现在所熟悉的对极限的 定义，他只在一些证明中含糊地涉及过相关概念。真正明确且严格的对极限的 定义是后来Weierstrass和Bolzano的贡献，这是任何学过数学分析的人都应该了解的常识了。

3. @Patrick Zhang 在其回答中所说的：

我们来看复旦大学版《数学分析》中的定义：
设存在一有理数a，对于任意给定的正数，总有正整数N()，当n>N时，数列{Xn}中的一切点都落入邻域O（a,)内，也即n>N时，有|Xn-A|<成立，则称数列{Xn}以a为极限。记作：

或者

是错的。

@Patrick Zhang 所给出的这个『定义』的错误太明显了，里面 和 指的是同一个东西（即数列的极限），却一会儿 一会儿 。同理的错误还有里面的 和 。我一开始以为这应该是 @Patrick Zhang 的笔误，但从 @Patrick Zhang 的回答评论区的一则对话（如图）中我发现 @Patrick Zhang 根本就没有理解他抄的这个『定义』以及其中的错误，还自作聪明地解释说

大写是极限，小写是数列中的具体项。

【这让我不禁想起我在另一个回答中纠正过的 @Patrick Zhang 的类似可笑行为（链接如下），在那里 @Patrick Zhang 抄了书中一个计算导线内部磁场的公式，然后自作聪明地将公式中出现的半径变量 解释为电阻率。

】

@Patrick Zhang 在上面这段话中说那个『定义』是从复旦大学版的《数学分析》中抄来的。虽然我没有读过国内的数学分析教材，但我不太相信复旦大学的《数学分析》会出现这么低级的错误。于是我找来了复旦大学的《数学分析》（如下图），马上就明了了。说实话， @Patrick Zhang 抄错书不是一次两次了，我也曾经在多个回答中指出来过，希望 @Patrick Zhang 抄错就认，不要总给别的作者抹黑。

4. @Patrick Zhang 在其回答中所说的：

再例如，我们用相同的方法可以求得N=10000。于是当n>N=10000后，恒有：
。

是错的。

在 那个例子中，对于 ，对应的是 。 @Patrick Zhang 所给出的 显然是不符合要求的。

5. @Patrick Zhang 在其回答中所说的：

就这个定义，把那位大主教给彻底折服了。数学的鬼魂也不存在了。

是错的。

贝克莱并没有被严格化的极限定义『彻底折服』。原因很简单：贝克莱（1685 – 1753）去世的时候，柯西（1789 – 1857）、Bolzano（1781 – 1848）以及Weierstrass（1815 – 1897）都还没有出生呢。

【这让我不禁又想起 @Patrick Zhang 在另一个回答中所编造的：

解析几何的创始人笛卡尔是在拿破仑入侵俄国失败后，他被俄国人俘虏，在战俘营里设想出雏形，回到法国后研究出来的。他当时唯一的想法是：回到法国不能失业，把解析几何作为他日后的生活出路。我当时真的很佩服笛卡尔。

笛卡尔于1650年去世，而拿破仑一世所发起的俄法战争爆发于1812年。请问 @Patrick Zhang 当时已经去世了162年的笛卡尔是怎么被俄国人在俄法战争中俘虏的呢？

另外，虽然笛卡尔出生于法国，但他年轻时参军的的国家是荷兰，而且后来撰写各种著作也是在荷兰。根本不可能作为法国军人被俘虏，也不是在法国研究出解析几何的。

】