代数拓扑为什么研究同调？ 第1页

有一天我在网上冲浪，遇见一个电磁生命(即以电磁波为载体的生物)，它叫电磁波阿特。我可以与波阿特在网络上打字交流，但因为它是电磁波，没有实体，我不能和它面基。波阿特想去哪儿就去哪儿，但它没有空间想象能力。

熟悉之后，波阿特说它非常想知道箭毒蛙是长什么样的，但它还处理不了图片，问我能不能描述给它看。

我说可以，然后我建了个三维直角坐标系，把一只箭毒蛙嵌了进去，把它所在的点的坐标尽可能多地都标记了下来，导出excel传给了它。

波阿特说它还是想象不出来该是什么样的，因为它是电磁波，没法看见三维空间，这串向量数据并不能帮助它理解箭毒蛙。

我说行吧，那我就找一种内蕴的方式。

于是我把箭毒蛙身上所有的点都取了出来，做成一个集合，记作 。

想了想只有这干巴巴一个集合，还是不够描述箭毒蛙的，因为这在集合论中等于是与它等势的任何集合，得找一个东西描述点与点的关系。

那就再把箭毒蛙身上所有的曲线拿出来，做成一个集合，记作 。

这样一个集合，它蕴含了箭毒蛙身上哪些点在一条线上的信息。

或者说，想找的就是上的一个二元关系，两个点如果能在箭毒蛙身上连起来，就有关系。而两个点在一条线上，就是说两个点在一个线段的两个端点，就是说是一个线段的边界。

但是线与线之间的关系还没得到，类比一下，那就再把箭毒蛙身上所有的曲面拿出来，记作 。

这样一个集合，它蕴含了箭毒蛙身上一条曲线端点不变，能连续地挪动变成另外哪些曲线的信息。

同理有集合 ，描述箭毒蛙身上曲面的关系。

到这儿我就觉得差不多了，因为我也不知道四维的东西长什么样。而这些集合差不多就能把箭毒蛙拼起来给还原了。

但我还不能直接跟波阿特描述这些个集合和集合彼此的关系，因为信息量太大了，万一波阿特内存超载就魂飞魄散了。要减少信息还保留主干，那就只有把一些不重要的东西商掉。但上述那些集合看起来不太好做商的样子。

于是我试探性地问道：波阿特啊，你懂抽象代数吗？

波阿特说它懂，因为它可是电磁波啊，它们整个社会就是个交换群，它可太明白了。

于是我知道了，它们可能不是一个像我们这样用数字来描述世界的社会，它们出生先理解的东西可能是交换群。而交换群做商可太方便了。

那时我也是上学期刚学完群论，想了想箭毒蛙身上有什么群。照着群论造群的方式试了试，对每个 ，它到整数的所有映射变成了个群 。从 到有一个自然的群同态，就是取边界。发现如果一个映射通过取边界变成了零，那它就是被连在一起的，但不一定是一个更高一维曲面的边界。把边界等于零的映射子群商去高一维空间的边界，这样做商虽然遗失了很多信息，但主要的信息似乎都还在……

我算了些例子玩了玩，发现挺有趣的，于是把我的想法告诉了波阿特。

波阿特想了想，说这个在它们社会好像叫做链群的同调群，他们在幼儿园的数学课就要练习算这个。

于是我告诉波阿特，我把箭毒蛙的这些同调群算了出来，分别是交换群 。

波阿特想了想，说：箭毒蛙就是个球面啊。

我说：你不是没见过三维空间吗，怎么知道球面是什么。

波阿特说：我们那旮旯就是定义球面是这样一列交换群 。两个整数群之间有n个零群就叫n+1-球面。

我说：那你们怎么区分homology sphere和sphere呢。

波阿特说：为什么要区分它们呢？

我：……

故事完。

稍微正经回答分割线：

是为了跟只有代数没有几何的外星社会对话。在我们这儿抽象的东西，在别人那儿可能就具体了。