学习经济要达到怎样的数学水平？ 第1页

写在最前面：这是很久之前的一篇回答，每年高考完都会集中有一波点赞，和疑问。原因大家都懂。我主要解释一下，如果不是数理经济学专业的研究者，没有必要全部掌握这里的所有数学。因此不存在什么先学十年数学再学经济学的情况。普通的经济学硕士博士，学好经济学三高就够了。本科那些数学就更不用提了。

PS：我发现网上有很多盗用我的文章内容，我平时也懒得管，但看到有些评论说这篇文章不是我写的真的令人糟心啊！不知道设置为禁止转载有没有用。

高级数理经济学和高级金融工程学很多确实是由数学家在做的，甚至这些学科也在不断的向数学提出越来越艰深的挑战，如随机泛函微分方程等等。

“看清全球经济格局的风云幻变”这个很难，需要很高的、各方面的综合能力单靠数学水平做不到。要做到这一点，信息、人脉都是必不可少的！
“看懂较前沿的学术文章”，数学要求如下（有些经济学教育落后的同学不相信经济学数学要求这么高，我特地附了一张北大工作论文，请自行查阅，可以看到，已经到了泛函分析这个层次的数学：
在我还是小硕的时候，武康平教授曾在他的课堂上讲过，数理经济学或称现代经济分析所涉及的数学工具几乎涵盖了现代数学的所有领域，甚至许多新的数学课题，比如集值映射理论等就是直接由数理经济学推动的。学习偏微分方程的时候，了解到数理经济学家史树中老师使用Ekeland变分原理证明山路定理……这一切都在当时刷新了我对经济学的认知。
在文章最后我还会谈一下：
1.在经济学研究过程中，即在《高级微观经济学》和《高级宏观经济学》的学习和研究中直接出现的数学工具。
2.在实务工作中，特别是在风险管理实务和投资组合实务、资本预算实务中，最常用的数学工具以及最常用的其他知识。注意，这里提到的风险管理并非CPA中的那块内容，而是特指风险的定量分析技术，是金融数学中的内容。CPA或者说审计学中的风险管理跟我在这儿说的风险管理不是一回事。
这个算是最终版答案了，更正了一些错误，补充了一些内容。

【入门】 星号代表重要性水平，下同

1.初等微积分★★★，2.线性代数★★★，3.概率论与数理统计★★★：全部、扎实掌握，不要信国内的什么经济数学！比如，许多本科经济数学的概率统计并不涉及的条件期望和条件方差、矩母函数等知识，在研究生的金融数学中都是非常重要的，在学习随机过程的时候，这些知识点也会进行简要回顾，但往往学生理解不到位。所以这些基本的东西要学全，学扎实！。4.运筹学★★，本科阶段最低要求掌握线性规划的基本理论。
这一阶段力求熟练掌握微积分的运算！
这一阶段力荐的书籍：
蒋中一《数理经济学的基本方法》（商务印书馆）适合数学基础一般的同学。这本书的经典之处在于微分方程、差分方程和最优化理论的讲解。

迪克希特《经济理论中的最优化方法》

学习金融的可以看沃特沙姆的《金融数量方法》，这本书是最简单基础、内容也十分广泛的金融数学科普读物。

陈希孺院士的《概率论与数理统计》，经典中的经典！

John Hull和我老师王勇的《期权，期货及其他衍生产品》，金融数学的经典名著，也是入门级教程，比前面一本金融数量方法稍微难一些。

【进阶】
有的同学可能感觉进阶阶段这么多数学，学到何时才是个头？我想说，第一，进阶阶段的数学，不用全学，要结合你的研究方向来定（除非你想读数理经济学的博士，那样的话就必须全面掌握了，而且还有高阶段位的数学等着你），第二，很多数学表面上看是不同的课程，实际上都是相互渗透的，比如你在学实变函数的时候，要联系高等概率论和金融数学一起理解，而一般拓扑你可以联系实变函数与泛函分析导论中的内容一起理解。这样你在学习一门课的时候，相当于学习了两-三门课，效率会高很多。第三，学数学要抓重点，不要眉毛胡子一把抓！比如，数学规划，掌握Kuhn-Tucker定理是唯一的关键，随机微积分，Ito公式是唯一的关键。包括在高阶阶段，学习微分拓扑，涉及到流形的定向问题，在初学时其实也不必去深挖。最后我还会给出进阶阶段数学的学习建议，以帮助提高效率。

1.高等微积分★（加深一下对数学分析的理解，新增的内容并不多）
推荐：马里兰大学《高等微积分》特别提醒：建议好好研究一下隐函数定理（比较静态分析基本定理）！

2.*最优化理论*中的非线性规划★★★★★（分离超平面定理与拟凹规划与Kuhn-Tucker定理！拉格朗日对偶原理等等）非线性规划是研究几乎所有理论经济学最重要的数学工具。
力荐：蒋中一《数理经济学的基本方法》、迪克希特《经济理论中的最优化方法》、高山晟《数理经济学》等等（三本书难度递增）。

静态优化的经济应用参见蒋殿春《高级微观经济学》，这本书对于硕士来说难度适中，装帧好，读起来舒服！

3.*常微分方程*（解法、线性系统理论★★★、非线性系统理论只需关注相图★★★、线性化方法：也就是所谓的Hartman-Grobman定理★★★、李雅普诺夫函数★）
推荐：罗宾逊《动力系统导论》前六章。弗恩特《经济数学方法与模型》
有人提醒我（大都是reputable university的数学专业的人而非经济学专业的），是否有必要再加上诸如中心流形定理、庞加莱奇点指标这样的高深理论。的确，这一部分理论在数理经济学中有大用处，但大部分经济学学生并不以数理经济学为主攻方向，我认为经济学大部分实际问题应该用不着上述高深定理出山。 99%的非线性动态系统问题，利用稳定流形定理和Hartman—Grobman定理线性化就足够应付了。非数理经济学中很少出现特征根为0的中心流形情况。

4.泛函分析导论★★这里严格地讲是拓扑线性空间导论，并未真正涉及无限维空间的“分析”-卢卡斯（学经济的不会不知道吧？）在《经济动态的递归方法》中写道：价格体系本身就是商品空间上的一个线性泛函。（理解BanachHilbert空间、理解紧集的概念和判断方法、掌握压缩映射原理★★、Hahn-Banach定理与分离超平面定理★★（凸集分离定理）的关系（福利经济学第二定理！）、理解基于线性流形的投影定理★，有志于读数理经济学的，这个阶段最好搞清楚弱收敛、弱拓扑和紧算子的概念，以及Sobolev空间的嵌入定理，为以后运用非线性泛函分析的拓扑方法研究最优控制问题和变分问题打下基础！）
力荐：Banach不动点定理的威力以及初等泛函分析在动态规划中的应用，参见萨金特《递归宏观经济理论》

5.矩阵论★★（线性空间、Jordan标准型、哈密尔顿-凯莱定理和矩阵指数、矩阵谱半径的估计是线性常系数差分方程组系统稳定性判别的极为简便的工具，矩阵微积分★★★）

6.实变函数论★（难！只需了解测度的概念、Lebesgue可积的概念，掌握控制收敛定理即可）
实变函数跟高等概率论或金融数学几乎可以一一对应地学习。比如，勒贝格积分就是数学期望，可测集就是事件，等等。
Rudin《数学分析原理》

总体上，对于经济研究来说，实变函数其实还是蛮重要的，即使你不研究金融数学。比如在统计学中，我们经常需要交换微分和积分的顺序，（比如我们在讨论极大似然估计的渐进理论时）你肯定知道数学期望就是积分，这时候Lebesgue积分理论会显示出无可比拟的优越性。因为微分与积分交换顺序，本质上就是极限和积分交换顺序。

7.*动态最优化*★★★★（变分法，动态规划，最优控制，做DSGE的话要了解随机最优控制）
力荐：蒋中一：《动态最优化基础》，弗恩特《经济数学方法与模型》；这个东西对宏观经济学来说太重要了。学过高级宏观经济学的同学都应该理解并且全面掌握。
目前研究高级宏观经济学的话，动态随机一般均衡模型（DSGE）是不可阻挡的滚滚洪流。最容易的一部入门书是：

只需要你拥有入门级的数学知识就可以完全掌握这本书，并配有大量Matlab代码！咸鱼之友！

另外，我还想提一句，最优控制在宏观经济学中是如此重要的存在，它的创造者却是一位盲人数学家：庞特里亚金——微分方程和控制论大师。向他致敬！

8.复变函数与积分变换（掌握欧拉公式★★★、理解解析函数，掌握柯西留数定理★，掌握积分变换★★，这货很强力，简单的常微分方程，积分方程，偏微分方程就靠它了，还有随机过程（金融数学）中也有大量运用）

9.一般拓扑学★★（难！不过只需了解拓扑空间的同胚概念、紧集的性质、连通集的性质、了解housdorff空间的性质，集值映射（对应）的上半连续性和下半连续性即可！少数要求较高的基础拓扑学书籍也会涉及到同伦与基本群，稍微了解就好，因为这部分属于较为高深的代数拓扑学，是可选项）
力荐：Colin Adams，Robert Franzosa
《拓扑学基础及应用》；阿姆斯特朗《基础拓扑学》

10.*随机过程*★★★（很多实用的部分学过概率统计就可以开始学了：最常用的泊松过程、布朗运动、鞅等随机过程的基本概念、随机微积分（金融数学）中的Ito引理非常重要，要会运用。随机微积分，不管你做金融学、金融工程还是高级宏观经济学研究消费、投资等高级专题，伊藤公式如果不会我真不知道如何入门这些领域。还有时间序列分析*也非常重要！）其实，随机微积分并不是很难。如果你没学过上述实变函数，只是单纯用一下的话，只要把握好两点：
1.布朗运动的微元,其中，W(t)是布朗运动。
2.微积分中的Taylor公式该怎么写怎么写，省略dt的高阶项，只保留dt的同阶项。
然后你就发现，你已经会随机微分法则了。这丝毫不妨碍你使用它来研究宏观经济学。那么做金融工程的话，对随机微积分的要求会更多一些，比如测度变换（Girsanov定理）之类也应该了解。此外，随机动态规划结合马尔科夫过程的收敛性理论，已经成为高级宏观经济学数理分析的“标准程式”。但这一套打法比较高级，需要我们完全掌握测度论和线性泛函分析。
力荐：Gregory .F. Lawler《随机过程导论》已经包含了上述全部基础性内容。另外，有一本特别著名的书，之前我一直忘了，突然想起来：《金融随机分析》，分一、二卷。这本书尤其是第二卷，是博士级别的随机数学教科书，内容极好，极好，极好！。而Thomas《金融观点下的随机分析基础》这本书，个人认为是金融工程硕士阶段的首选参考书！

11.偏微分方程★★（一阶线性、拟线性偏微分方程解法，二阶线性偏微分理解分离变量法、积分变换法即可！）偏微分方程在金融学中的最主要应用恐怕就是期权定价了吧，如布莱克-斯科尔斯偏微分方程。所以这一块更应该关注偏微分方程的数值方法。

12.*高级计量经济学★★★★（把这个归为数学真的好吗？）
学习时最好亲手动笔算！这劳什子学好线性代数，矩阵论和概率统计简单得很，许多人觉得难，无法理解，是由于他们只想看懂，不想动笔算，对就是懒。
说实话计量经济学需要掌握的内容其实并不多，比如：多元线性回归只要搞透一个Gauss-Markov定理就可以了，什么异方差多重共线性全是从属地位，掌握OLS的矩阵推导，GLS、SURE估计都是很简单的。ARIMA和VAR模型，你弄懂差分方程了还不会？那么，差分方程很难吗？比较深入的内容，如渐进分析，只需要熟悉各种收敛（依分布收敛、依概率收敛、几乎处处收敛与均方收敛）并掌握住核心的大数定律与中心极限定理、斯勒茨基定理就够了，内容很少。

推荐教材：洪永淼《高级计量经济学》（个人觉得是国内最标准的硕士层次高级计量经济学教材）、陈希孺《高等数理统计学》（这本书深度其实已经超越了进阶阶段，可以放在高阶内容里了）

推荐参考书：伍德里奇《计量经济学导论》（本科层次精读）

对于经济学硕士生而言，完成2、3、7、10、12就可以完爆Varian的高微和Romer的高宏；在此基础上加个4、9的话，看杰里、瑞尼的高微和萨金特的高宏（递归宏观经济学）没有问题的！我个人高微就学了瓦里安的和杰里、瑞尼的，马斯克莱尔的没系统地读过（我研究方向是宏观）。其实书不用读太多，弄透一本就够了！！

进阶阶段的学习建议：

事实上，许多正规的硕士级别的（国内）一学期数理经济学课程，就已经包含了2（数学规划）、3（常微分方程）、7（动态最优化）的最重要的内容以及10（随机过程）的部分内容，12（高级计量经济学）是经济学硕士必学不罗嗦。所以其实内容远没有看上去那么多！金融数学的同学如果还需要复变函数和矩阵论，建议这两门自学效率更高（前提是你入门数学已扎实掌握了），而实变函数与泛函分析导论、点集拓扑学、偏微分方程建议旁听，不攻数理经济学的人基本可以无视这些科目。总之就一点：同学看到这么多数学课不要害怕！还有，我们经济系的人研究数学也不要像数学系一样，在学习数学的时候我们可以适当放宽严谨性，理解万岁，差不多就行了！

【高阶】
这里真的要开启地狱模式了，但是非常重要的一点，我最后再次声明一下：我们数理经济的（跟许多物理系的）脑回路跟他们数学系的人是不一样的！我们学数学并不是非要按照数学系的学法去学——不然很有可能会猝死！猝死！（毕竟我们还有自己的经济类专业课）

下面两个算是高深级别的数学了，姑且称为双子BOSS吧。献给那些致力于数理经济学的博士生们：

1.非线性泛函分析（Final BOSS，真正的泛函分析！是进阶阶段泛函分析导论的深化。较为高深的数学，前置课程为：掌握高等代数、复变函数、高等微积分、实变函数与泛函分析引论、一般拓扑学（最好再去了解代数拓扑的同伦方法，不了解也没关系）、常微分方程和偏微分方程的基础。
从经济学角度，需要掌握Banach空间的微分学，重点在可微泛函：Gateaux微分和Frechet微分理论，将隐函数定理、Lagrange乘子定理及Kuhn-Tucker定理推广到无限维空间。学完非线性泛函分析的这一部分，你就可以居高临下地俯瞰所有动态最优化问题，以及大部分数理经济学的非线性动力学问题，比如数理经济学中分岔、高维微分博弈的Lyapunov-Schmidt降维法。
非线性泛函分析有两大块最重要的内容，一个就是上面提到的Banach空间微分学，另一个就是拓扑度理论。当然了，拓扑度理论是依据拓扑学开发出的强力武器，自然也可以在下面介绍的微分拓扑中找到其依据。其中，Brouwer度理论可以轻松地讨论一般均衡的唯一性问题，要知道这可是马斯克莱尔微观圣经中最高深的课题之一了。此外，强大的拓扑度可以导出大量不动点定理，这些不动点定理的海量经济应用，参考卢卡斯《经济动态的递归方法》。一般地，经济学中许多的不动点问题，我们总是先派小兵上！就是先尝试Brouwer不动点定理、Lery-Schaulder不动点定理等具体的不动点定理。当这些定理都失效时，拓扑度作为他们的“母亲”，是我们解决此类问题的“最终手段”。没错，就是大招！
将拓扑度理论和Banach空间的微分学结合，我们还可以将变分学推进到它的现代化领域：大范围变分法。非线性泛函分析的最初等应用，可见北大讲稿，请戳：http://econ.pku.edu.cn/upload/20131213/5619969.pdf

力荐：Optimization Method in Vector Space（鲁恩伯杰的最优化的矢量空间方法，对线性泛函分析以及赋范线性空间的微分学都有很生动的例子讲解）

再给一个篇幅很短，非常简明扼要的非线性泛函分析讲义nonlinear functional analysis (lecture notes)：（非线性泛函分析(讲义)）

张恭庆的《变分学讲义》也是极力推荐的，对非线性泛函分析中的现代变分方法（临界点理论）有初步的介绍，也涉及了一点儿拓扑方法。阅读这本书需要较好的偏微分方程基础和一点流形上的微积分理论。不过我想对于数理经济学博士而言，这个要求并不高。
有的同学想要更多地了解泛函分析和一般拓扑在高级数理经济学、现代宏观经济学，特别是随机动态优化、动态随机一般均衡的应用，在此再推荐两本：
1.《经济数学引论》（格致出版社），注意，不要被“引论”二字欺骗了。
2.卢卡斯：《经济动态的递归方法》。最高级的宏观经济学教科书。数理工具的深度要远高于萨金特的《递归宏观经济理论》。

Lucas的这本书将随机动态规划完全建立在严格的测度论基础之上，使我们的随机Bellman方程适用范围极大地拓广了，并在线性泛函分析的框架下研究Bellman算子，对泛函分析在高级数理经济学中的应用做了全面的介绍。
对泛函分析在优化控制中的全面应用，请看我的另一篇帖子具体哪里会用到泛函分析和测度论？ - 遥远的漂泊客的回答 - 知乎

非线性泛函分析在经济学中的应用，可以参考Graciela Chichilnisky教授的这篇文章：

Nonlinear functional analysis and optimal economic Growth。1977。

2.微分拓扑学（EXTRA BOSS。相当高深的数学，可选项。对于这个学科，范里安在他的微观经济分析中多次提到。它有什么用？最直接的用处就是讨论高维非线性微分方程的定性理论，用拓扑语言说，叫做：流形动力系统。

某种意义上讲，是拓扑学（在一定程度上）拯救了整个微观经济学。

为什么这么说？从经济学之父——Adam Smith的“看不见的手”理论以来，从最一开始的理性行为假设开始，到最优化建模，一直到最后的市场经济价格调节机制将会导致整个经济体达到一般均衡状态（极乐世界）是整个微观经济学的根基。长久以来，论证均衡的存在性一直是一个极其困难的问题。试想，如果根据微观经济学的基本理性人（最优化）假设，却无法证明这样的均衡是存在的，那就说明整个学科的逻辑是不自洽的！

一般均衡理论是经济学中最为复杂的课题——凯恩斯

一般均衡理论是经济学的宪章——熊彼特

受到Nash运用Kakutani不动点理论论证博弈均衡的存在性的启发，Arrow-Debreu同样运用不动点理论证明了一般均衡理论上的存在性，才力挽狂澜于既倒，才真正使得微观经济理论完成了自身的逻辑环路，并让她具有了整体上完美的数学结构。

市场经济直观上就是一个流形上的动力系统（因为受到了Warlas约束）但不管怎么说，都是在拓扑这个框架内。

都学到这儿了，让我们做好准备来接受终极大招的审判吧！！！！

对不起放错图了……

分享：下图是一般均衡中非常著名的市场经济的“探索轨迹”相图。（寻找极乐世界的过程图，限制在3维空间中的示意图）。这是微分拓扑的Poincare Hopf Theorem（指数定理）的直接推论。这是目前数理经济学中运用过的最高深的定理，也就是我前面所述的“终极大招”。它联系了微分拓扑与代数拓扑（同调论）。

到这时候你会发现市场经济作为流形上的动力系统其指标和永远是1，这是因为我们考察的流形是可缩的，即与单点同伦，根据同调论，其欧拉示性数（各阶同调群的秩的交错和）=1，再由Poincare Hopf Theorem就得到这个结果：（限制在3维空间中的示意图）

图17.H.2: 使用微分拓扑研究弯曲空间（流形）上的动态系统（市场经济的数学模型）

参考文献：Andreu Mas-Colell ，The Theory of General Economic Equilibrium: A Differentiable Approach，这本书数学附录里有微分拓扑的内容，包括横截性定理、映射度与不动点定理、欧拉示性数以及Poincare-Hopf定理，但不适合初次学习！！！！但不适合初次学习！！！！但不适合初次学习！！！！

【警告】不要贸然去读这本书，否则极有可能走火入魔（成为“名词党”/民科）。学完微分拓扑再去看！

于是，一般均衡——这个经济学历史上最为困难的论证过程，其实差不多可以说被终结了。对，死于微分拓扑之手。

推荐教材：《微分几何与拓扑学简明教程》；米尔诺经典《从微分观点看拓扑》，指数定理就来自于这儿。最后，我们可以去看大神肯尼斯-阿罗主编的《数理经济学手册》第一卷，其中有两部分涉及到流形上的动态系统理论：哈尔-范里安（就是写微观经济学现代观点的那个Google首席经济学家）撰写的《动态系统》和大数学家斯梅尔的《整体分析》。微分拓扑与非线性泛函分析之间有着紧密的联系，可参见米尔诺《莫尔斯理论》

最后，是我最想说的话。以上就是我所掌握的全部数学了。但是，如果你已经掌握了非线性分析和微分拓扑的奥义，也请记住，这并不是终点，而是新的开始。做研究，请永远保持你的那颗求知之心，它是人区别于动物的永恒标志。（而非运用工具）

【研究】
在高级微观经济学中，非线性规划和有关一般拓扑的知识大量涌现，除此之外，很容易让人忽视的几个地方出现了一阶偏微分方程的应用（如：进行福利分析时，运用可观测的马歇尔需求函数复原间接效用函数，一般的教科书上出现的是比较简单的情况，实际研究中可能会更复杂，所以微观经济分析中一阶偏微分方程有必要掌握）。博弈论里，常微分方程定性理论非常重要，尤其是演化博弈和微分博弈。在Varian的《微观经济学（高级教程）》、马斯克莱尔的《微观经济理论》一般均衡分析里出现了高深的指数定理，来自于微分拓扑的Poincare-Hopf定理（奇点指标定理）。

在罗默的《高级宏观经济学》中,常微分方程、差分方程、变分法大量涌现，兼具随机过程知识。前三者已经成为了宏观经济研究的标准数学工具。研读萨金特《递归宏观经济理论》、卢卡斯的《经济学动态递归方法》，诸如（上）鞅收敛定理、压缩映射原理、Hahn-Banach定理、Lebesgue积分理论等泛函分析的知识也得以直接展现。随机动态规划（特别是具有Markov链的随机Bellman方程）、随机最优控制（特别是随机微分方程情形下的最大值原理与Hamilton-Jacobi-Bellman方程）、Kalman滤波已成为动态随机一般均衡模型的标准数学工具。

【实务】

实务工作相比研究工作就没有太多什么高大上的知识体系。最重要的还是数理统计学、计量经济学、时间序列分析这块。其次，Ito公式和随机微分方程也经常运用，但由于我更加侧重于风险管理这块，所以随机分析这类数学工具用的不如统计学多。风险管理实务中，熟悉各种分布的特征很重要，蒙特卡罗模拟非常常用，也是最基本的。投资组合的优化方面，在实务中更多的是数值方法。资本预算中，除了传统的净现值方法之外，期权定价模型（实物期权）正成为越来越重要的方法，其中除了著名的布莱克·斯科尔斯期权定价模型之外，我们经常还要使用布莱克——斯科尔斯偏微分方程的数值方法，特别是偏微分方程的有限差分法。

实务中更多的是除了数学之外的知识，我个人感觉，CPA（中国注册会计师）培训的整个知识体系的确给了我非常大的帮助，尤其是财务管理、战略管理（非常重要，并不仅指系统地学习书本知识）和法律这块。

祝学习愉快！！！