怎么形象地理解对偶空间（Dual Vector Space）？ 第1页

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  lpz-71 网友的相关建议: 
      

• 对偶空间未必同构于原空间，比如说对偶能kill torsion：作为 模， ；
• 对于正合列 ，对偶操作只保持左正合： 。
• 如果上面提到的所有空间都是有限生成自由模，那么对偶空间就与原空间同构，同时对偶函子是正合函子。
• 域上的向量空间都是自由的（Zorn引理），因此从某种程度上，有限维向量空间的对偶是不太有趣的。
• 这给我们充分的动机把向量空间的研究扩大到一般交换环的模上。比如用Ext函子把对偶空间的正合列延长：

对于无限维的自由模，对偶空间往往比原空间大得多，并且对偶空间一般也不是自由的：

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  mu-bing-70 网友的相关建议: 
      

添加前提：只在有限维内讨论…@玟清 的答案已经非常之好了，我在这里再补充几个必要的细节：从定义出发，来说说为什么就如玟清所说的：
（问题一）dual vector也会构成一个线性空间，我们把它叫成dual space；
（问题二）为什么dual space V*与原空间 V维度相同（同构的）。

首先是dual vector的定义：given a vector space V with scalars C，那么V上的dual vector（或者叫 linear functional) 是一个V到C的线性映射。线性映射的含义就是：,其中,,,另外我们把所有这样的线性映射的集合称为。

现在我们任意选定（可以假定是dim n）的一组基，那么任意的，可以表示成

接下来，我们选出属于集合的一组特殊的线性映射,其中，用大白话解释就是：我们选定了一组的基，所以对于有一组“坐标”，线性映射就是把坐标中第个的拿了出来，如此而已。从这里我们也可以看出在选定了一组基后才有意义，否则哪里会有坐标让你拿出来。。。我们还容易得到，大白话解释就是去捞的第个坐标就捞到了1，去捞的第的坐标就捞到了0...这个可以简单写成，这个符号叫Kronecker delta，含义的话应该很明显了。

再接下来我们考虑了集合中的一组特殊的线性映射后，开始考虑一个任意选定的，我们希望可以被特殊的线性映射表示（线性表示）。我们刚开始会关心作用在选定的基上的情况，我们记，显然特定的某个作用到上，就会是一个特定的。

好了最终我们开始讨论一般的情况，任意选定的作用在上：

再明确下我们得到的结论：

此式非常重要，它表明任意可以被一组特殊的线性表示，所以就是一个线性空间，我们把它叫做的dual space（问题一得证），而“坐标”就是，它们就是作用在的一组基上产生的“值”，这个式子非常精彩，总觉得这里面我还没有挖掘出更多精彩的信息，如果有大神想到，请告诉我哦~~先orz为敬。。

接下来的问题很自然，那就是是不是线性无关的，也就是我们想知道它们是不是的一组基，是不是dim n的（问题二）。

我们假设，

则，其中

所以

所以线性无关，它们是的一组基，dim F = dim V = n，问题二得证。

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