除了 π、e 等这些常数，还有哪些伟大的常数？他们的意义都是什么？为什么都是无理数呢？ 第1页

就数学常数而言，除了 和 最伟大的常数应该要数 Euler-Mascheroni 常数

其中 称为 调和数. 由定义可以看出 Euler-Mascheroni 常数 刻画了当 足够大时调和数 与对数 的差.

之所以说 Euler-Mascheroni 常数 是除了 和 之外最伟的常数，那是因为它与 和 一样会频繁地出现在数学的各个方面. 比如

设 为正整数 的正因子的个数. 在 1838 年，著名数学家 Dirichlet 得到了

设 为第 个素数，数学家 Mertens 得到了著名的 Mertens 定理：

我们记 为不超过 的 Mersenne 素数 的个数. 1983 年，数学家 Wagstaff 模仿著名的 素数定理 提出下述猜想：

猜想：

Euler 的 Gamma 函数 定义如下

则其有 Weierstrass 型 无穷乘积形式

我们定义 Digamma 函数 为

则我们有

运用这些公式，我们可以得到

下面这些级数与 有关.

其中 为 Riemann Zeta 函数.

设 为 的 非平凡零点，则

设 为 Bernoulli 数，为 Bernoulli 多项式. 则我们有

我们定义 对数积分 为

则我们有

下面这些积分与 有关.

下面这些极限与 有关.

是数学中最重要的三个常数，因此经常被数学家喻为数学常数中的 holy trinity. 它们有着形式非常相似的无穷乘积：

1997 年，数学家 Wilf 得到了一个十分优美的同时包含 三个常数的公式：

由于 的极端重要性，数学家对其进行了很多的研究，得到了各种各样的表达式：

虽然我们得到了 的很多表达式，然而却没有一个能够帮助我们确定 是否为无理数，至于是否为超越数那就更不得而知了，所以有人说 是数学中最大的迷！据说英国著名的数学家 Hardy 曾对外宣称要是谁能证明 是无理数，他将把他在牛津大学的 Savilian 教授职位让出来给那个人！

这样伟大的常数好像还比较多，我想到的几个其他回答都说了，比如玻尔兹曼常数K，零。其实我觉得绝对零度也算一个，但是不知道绝对零度是不是有理数，个人倾向无理数，原因后述。还有光速C，我觉得是否也可能是无理数。还有普朗克常数h。同时个人也觉得这样的常数应该还有很多，但是可能我等民科还没挖掘到，或者科班还没有合适的方法推断出来，这个的话后面也后述。

他们的意义自然很大，有多大呢？

有那·······么······大。

这些常数是描述典型关系的数。我们这个世界是一个由无数的关系组织起来的世界，光，温度，速度，力，原子，质子，中子，电子等等，都是讲的物质与物质之间的某种关系，所以物理学家、化学家用数学这个低成本工具来帮助自己的研究。

举几个简单的典型关系与其常数：

π，描述的是力的方向与力的使能方向正交的相互连续运动关系，图像化描述就是某点的向心力与其瞬时速度呈直角。

e，描述的是高维与低维互为镜像关系，数学上定义的是e的导数就是其自身，这种关系的图像化描述个人觉得挺难，毕竟偶也是个低维生物，从感觉上来说或许类似克莱因瓶或者太极图的三维化，内外镜像，难以区分。除此之外，e还有描述一个关系：为了获取目标物质的信息，最小探知取样周期与物质对应的周期的关系，可以不用3个探知取样周期，2.71个周期即可实现信息的准确获取，这个2.71与256很接近哦，很多人喜欢256这个数字；同时这个e还跟高斯分布有点关系。

h，描述的是我们这个宇宙视界的边界关系，是视界不是世界，这个视界还跟上面的e有点关系。如果物质尺寸太小，我们是看不见这个物质的，因为我们找不到比这个视界边界尺寸还小的尺寸去探知物质。

k，描述的是如果物质之间没有任何相互关系所对应的能量状态。在其他回答中个人举的例子是全世界人口同一时刻都不说话了，那么这个世界的噪音是多大。

C，描述的是物质与物质间信息传递最快的速度，目前基于洛伦茨空间，这个光速特指两个物质之间的最快速度，但是个人觉得应该还是个宏观统计均衡值，并且是个无理超越数，跟π，e是同一类的，原因后面讲述。

看了上面描述的意义，是不是感觉它们之间好像有某种联系？个人也这么觉得。借用某个非民科的说法：这个世界是由信息组成的。光速是信息传递的最快速度，温度（能量）是信息能产生的基础，尺寸（时空）是信息有效识别的限制，闭合光滑空间是信息传播的高效通道，通过内外转换实现对物质内部信息进行解读。

ps：上述的表征关系的常数，主要还是微观世界的，宏观世界肯定也有类似的常数，比如那个黑洞史瓦西半径，本民科还没涉及这个，待后面编一编来忽悠大家。

至于为何这些数大部分是无理数，想想其实很简单：

用相对论的参考系选择来解释，如果我们的数学认知建立在无理数基础之上，或许，这个问题将互相调换位置。

从关系网络看，这个世界的关系一直都是N对N满秩，反应到方程上就是无限元，所以需要无理数表征这一状态。比如光速。

从研究方法上，正交法被用于方程，这种不稳定状态容易受到干扰，无理数就是干扰的体现。

可能，数字本身也有自带干扰呢。