n! 是否是一个完全平方数？ 第1页
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对于 （ 且 ），有如下公式：
实际上我们只要证明：不超过 ，但离 最近的质数，其最大指数一定是 ，即需证
即证
证明：分两种情况：
若 ，则命题显然；
若 ，命
现在只需证明 即可。若不然，则 满足
成立原因是伯特兰假设。如此一来， 的出现与 的极大性相矛盾. 所以大于1的阶乘皆非完全平方数.
下面我列出 20 以内阶乘的质因数分解式（除 1 外）：
容易发现分解式中的最后一个质数的指数总是 1，更进一步，只要满足 的质数，其指数也总是 1.
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