两数列合并后有什么性质？ 第1页

额...有个无聊的数列公式叫奇偶合并公式...

那么

你要说了,我又不是处女座,我就喜欢写分段函数,我要这个何用...

<del>当然有用,因为我是处女座啊~~摔...w(ﾟДﾟ)w<del>
Gunia,反正我不是处女座...

当然有用,因为这是一个很轻松的解析延拓方法...

• 再说一遍 是天堂模式, 是地狱模式...
• 解析数论吊打古典数论......

这个公式能将一个数论问题转化为一个函数论问题...

举个例子考拉兹猜想...

用这个公式变成:

这个函数还是奇数三加一,偶数变一半...

然后我们可以画出他的分形图:

黑色部分就是极限集,中间一条线是 .

如果能证明这条线上所有的点都是迭代 的极限集那么就相当于证明了Collatz Conjecture.

再比如双阶乘

难道我要和推导阶乘一样从头做一次解析延拓吗...

不用,直接奇偶合并:

想当年李煌老师在暗黑破坏神世界大战七天七夜突然顿悟了这个公式...一时传为佳话...>>逃

我们来推广到三元的情况.

那么:

故意化简了才变成这个鬼样子的...

其实原理想明白很简单.找

1,0,0,1,0,0....
0,1,0,0,1,0...
0,0,1,0,0,1...

这么三个数列乘上去就好

要有周期性还有相位...那不就是三角函数吗?

错...是指数函数...

Emmm,其实也没错,三角和指数是同一个函数...

我们来看如何构建这样一个数列.

考虑方程 的三个根:

可以看出三个根之和为0.

然后现在幅角多少度就转多少度:

第一次变换后如图所示

效果是蓝绿互换,那么这仨之和还是 0 ,然后再转一次

绿色再转240度,蓝色再转120度,三个转到一起去了,和变成了三倍所以除掉三分之一.

写成公式就是:

于是乎: