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数学中,梯度可不可以理解为电场线垂直为等势线? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

我之前写过相关的文章,不过这次用更严格的流形语言进行表述。



其实微积分中的隐函数定理早就蕴含了这一点:梯度是曲面增长速度最快的方向,它与等值线(面)垂直。

例如隐函数 可以确定平面一段曲线;也可以理解为二元函数 的 - 等值线。

考虑函数的全微分

全微分体现了二元(多元)函数 在曲面 上的切平面 沿着各分量方向 上的增长速率

注释:其中 是关于 线性函数: ,我们称之为对偶关系。

也就是说 ,即 是余切空间 ( 的对偶空间)的余切向量。

我们现在考虑曲面 上的 - 等值线(假设光滑),设为 ,它满足原方程 ,通过全微分公式、链式法则:

这里以及下文我们使用 而不是 ,是为了符合微分几何的表示习惯,此处 应该视为曲线的切向量。

立即可得我们熟悉的隐函数定理的形式:

不过这不是我们的关注点。回到前一个式子,我们注意到如下关系:

梯度 和曲线的切向量 两者正交。这回到我们文章开头所说的几何含义:梯度是曲面增长速度最快的方向,它与等值线(面)垂直。因为如果动点只是在等值线 上逗留,那么对于 的增长毫无贡献,也就是它在增长方向的投影分量为 .

所以隐函数求导公式蕴含梯度与等值面正交.




  

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