常微分方程解对初值的连续依赖性，书上都是定理证明，能否举个最简的方程来说明下，它的解是怎么依赖初值的？ 第1页
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liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
从几何的角度，一个向量场 诱导一条积分曲线 ，满足：
这在一般流形 的局部上是成立的，但是我们不妨仅在欧式空间 中讨论。
这就好比有一个平稳的水流（几乎听不到水流的声响），我们将水流表面的流速视为向量场，这时将一艘纸船放在水流的某一点（初始位置），不需要外力介入，小船自己就会划出一条轨迹（积分曲线）。如果我在放第二艘纸船的时候，离第一艘纸船的初始位置很近，直觉上，这两艘小船的轨迹在某一时间内、某一邻域内也极其接近——这就是连续依赖初始位置的简单说法。如果，是一个不稳定的水流，比如水流遇到乱石的阻挡、扰动，或者是瀑布的飞溅，会产生不可控的局面，此时会破坏这种连续性。
举个最简单的例子：
也就是说，从原点开始，给予质点初速度 ，于是接下来质点将会沿一条直线保持这个速度运动下去，质点的轨迹是 ；如果换一个初始位置 ，那么解这个微分方程得到轨线为 ，从图像上看，这两条直线之间彼此非常靠近。
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