第6题第(2)问怎么证明？ 第1页

这是Morse引理的二维形式。这个引理表明，光滑实函数在非退化临界点附近可以局部地化为某种正则形式。其实，这种正则形式非常类似二次型的标准型，问题中的 取值为1或-1，它们就是二次型的正负惯性指数。可以说，Morse引理就是线性代数中二次型标准型定理的非线性形式。

问题(1)本质上是积分型余项的泰勒公式的一种写法，因为

取 它显然满足要求。

问题(2)有一点构造性。这里的“参数变换”，应该更准确地称为“微分同胚”。它相当于点 邻域内的局部曲线坐标系，也就是把原来的坐标 变成新的坐标 在新的坐标下，函数 具有简单的形式： 即二次型的标准型。现在给出证明。

利用坐标平移，不妨设 对 用(1)的结论，因为 是 的临界点，所以 再对 用(1)的结论，得

所以

不妨设 否则用 代替 和 即可。

由泰勒展开的唯一性， 因为 是 的非退化临界点，所以二阶矩阵 是非退化的，故不妨设 所以存在 的邻域，在这个邻域中有 在这个邻域中作变换

易见 的Jacobi行列式在 处为 所以 是 的邻域中的微分同胚。在这个变换下，

式中 前面的正负号，和 的正负号相同。易见 所以在 的邻域中 再作变换

它也是 的邻域中的微分同胚。在这个变换下，

其中 前面的正负号和 相同。于是，变换 是 的邻域中的微分同胚，且

证明完成。

发展这种思路，还可以证明 中的Morse引理。至于流形上的更一般的Morse引理，可以看微分拓扑相关的书籍。