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正整数真的和自然数一样多么? 第1页

  

user avatar   luhao007 网友的相关建议: 
      

谢邀。

楼主设想的情形当年希尔波特也想过,于是他提出了一个有趣的旅馆问题:如果一个旅馆有无穷个房间,但是都住满了。这时新来了一个客人,请问能住下么?

答案是能的,我们只要让每一个房间的人往后挪一个房间,第一个房间就空出来了。

同样,来无穷多个客人也可以,我们让第n个客人搬到2n号房间去,就有无穷多个房间空出来了。

甚至来无穷多个旅行团每个旅行团有无穷多个人。这个旅馆都能塞下。题主和各位读者朋友可以自己思考怎么塞。想不出来可以参考以下百度百科词条:

由上面这个例子,我们可以看出,对于一个无穷集合来说,只要这个集合的是可数的(如自然数,正整数,全体奇数),那么我们可以认为他们大小相同,即等势。


势就是一个集合的大小,对于有限集合来说,它就是元素个数。对于无限集合来说它们都是“无穷大”,然而这些“无穷大”之间我们也是可以比较大小的。

只要我们能找到一个一一映射,那么我们就认为两个集合的势相等,即它们是“一样多”的。

而无穷集合中,势最小的就是类似全体自然数这样的可数集合。这样的集合我们称之为可数无限集。而其他所有不可数集(如全体无理数,全体实数)的势都比可数无限集大。

总结一下,对于集合的势:有限集<可数无限集<不可数集。

换句话来说,可数无限集的基数,即可数无穷,是所有无穷大里面最小的。

(可数无穷:┻━┻ ︵ヽ(`Д´)ノ︵ ┻━┻)


延伸思考:有理数集也是可数集,也是和自然数集等势的,这个一一映射如何构造?


user avatar   inversioner 网友的相关建议: 
      

您的问题确实表意不明。。。关键是没有解释“多”的含义。如果是指数学上“等势”的话,一样多。




  

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