概率论和实变函数（测度论）有什么联系？ 第1页

测度论忘得差不多了……就还记得测度空间的那三个元素……

举几个简单的例子：

1.扔一个fair coin（公平的硬币？），出现正面和出现反面的概率都是二分之一。基本的概率论就能解释，很直观的“概率论”。

2.我要是扔无穷次硬币呢？在扔无穷次硬币的情况下，实际上可能出现的情况也是无穷多种的，那么特定的情况发生的概率（比如出现全是正面）.

3.还是扔无穷次硬币的情况，我想要前三次都是正面的概率要怎么算？因为每一个独立的情况出现的概率都是0，是不是我就要把这些0加一起呢？结果还是0？很明显不是。

在这种情况下，就需要用上测度论了。在我看来测度论就是你有一个样本空间，里面是所有可能发生的随机事件，然后你有一个函数P（概率测度）将样本空间里的某些子集映射到实轴上某条连续的线段上（准确的说应该叫borel set，博雷尔子集，一般是[0,1]内的某个点或者某条线段吧）。这样做的最大好处是可以将离散的事件对应到“连续的”一个集合（线段）当中，有了连续性就可以随便操作了，加减乘除随意。而且每一个实轴上的线段（子集）都有与之对应的样本空间的意义。

这么个例子应该是一个比较直观的解释了？

一年多前学的了，解释的不好勿喷……欢迎讨论。

没有测度论和有测度论的概率论，大概可以类比微积分和（以定义了实数完备性为主要区别）的数学分析吧。测度论是现代概率论的地基，是严格定义很多事情的前提。地基深可以把房子盖高，但建出多漂亮的房子是概率论自己的事情。

----

好吧还是展开说一说。按照我本科和PhD所在学校的教学设置，在没有测度论的前提下，一般可以开概率论和应用随机过程。这些课会包含古典/几何概型，常见分布，不证明的大数定律和中心极限定律，马氏链，泊松过程，条件期望和鞅，甚至一点点布朗运动。对不以随机分析和花式scaling limit为方向的人来说，这些已经足够开始科研了。但其实这里很多事情我们都说不清：比如连续变量的条件概率，比如马氏过程常返性中涉及的无穷样本轨道，比如强大数定律a.s.和i.o.……而测度论算是填上了这个背景里的坑。

但之所以我们还是兴致勃勃的研究概率论，是因为概率论除了Borel代数上的有限测度有很多概率直观才有的概念，而这些概念往往不需要测度论就可以了解：

上应随时的CDY老师曾经说过，做泛函分析的人们认为马氏链不过是离散空间上的马氏半群/转移矩阵的幂，让他们来研究一下停时看看……

再比如zero大大说的独立性，延伸一下便是鞅和选样定理这个每次用到都觉得神奇的构造。

又或者布朗运动是定义在全体连续函数上的Wiener测度，但几乎处处考虑的都是处处不可微的连续函数，我不知道有多少分析的人，会对这样性质不友好的函数感兴趣。概率里会有不变原理，会有重对数律。

事实上，正如广大非数学专业的人们不知道实数系完备定理还是可以使用微积分，学数学的人们也不知道还有多少会每天用到这些。测度论对于概率论也是这么一回事，没学到不用心急，一旦学过以后知道就好了。我老板就曾经感慨过，他已经好几年没有用过测度论了。（不过看在他最近做了有关TASEP的东西，也许要收回这句话了吧）

个人观点，其实题主没有必要羡慕一上来就讲实变概率论的班级。我很感谢本科教我概率论的ZFX老师，她一开始就把概率的独有的概念告诉了我们。她在概率论期中出了一道来关于渗流模型需要单调耦合的思想才能解决的附加题。还讲了用概率母函数的不动点解决分支过程的灭绝概率。这些技巧我现在还不时会用到。倒是两年之后她讲基于测度论的高等概率论时，那些fancy的大数定律证明，学过一遍之后基本都忘记了……