什么是「测度论」？ 第1页

雪球姐姐不邀自来～

我们先从一个例子说起。 我们想象平面上的一个边长为1的正方形，我们直觉认为这个正方形的面积也是1。而且我们知道边长为的正方形的面积是，借助大小不同的正方形，我们可以计算所有由正方形拼成的图形的面积。

但是单考虑有限个正方形拼成的图形，我们能计算的图形面积太少了，所以我们考虑无穷个正方形拼成的图形。我们拿圆举例子，我们先用彼此不相交的边长为1的正方形填充圆，再用彼此不相交的边长为的正方形填充圆，并且这些正方形与之前填充的正方形也不相交，以此类推我们可以一直填充下去，直观上正方形的面积和越来越接近圆，我们将最终的极限的面积和作为圆的面积，这样我们也可以测量圆的面积了。注意到只要正方形不相交，那么我们就可以分开计算正方形的面积再去求和。

测度论就是考虑上面问题的抽象的形式。测度可以看作集合到实数（或者复数）的映射，但是这个函数满足一个条件，对于由不相交的集合的并构成的集合，我们可以分别计算每个集合的函数值，再去求和。我们可以考虑不同集合上的函数，也可以考虑对函数的不同约束。如果再在其上定义可测函数后，我们就可以定义可测函数的积分。如考虑直线上的集合，取，通过完备化我们可以得到直线上的Lebesgue测度，这个测度是最符合我们一般直觉的测度，比如高等数学里面常见的非负函数下围成图形的面积就可以通过这个测度来进行讨论。另一个例子是考虑概率论中事件的集合，称其上满足某些约束的测度为概率。我们称其上的可测函数为随机变量，其积分即为一般意义下随机变量的期望。

绝大多数测度论都是与概率论密切相关的，这也是测度论的一个重要应用。

如果单独考虑测度本身而不考虑可测函数，也有一些有意思的例子，在大部分实变函数的教材中都会提到一个经典的例子，Cantor集。这个集合的Lebesgue测度是0，但是Cantor集的结构本身似乎并不能用单单一个测度为0去描述，甚至仅仅讨论Cantor集的维数都不是那么简单。一个有效的工具就是Hausdorff测度。仿照上面用正方形覆盖圆形的例子，如果我们考虑直径为的集合的面积为，当用直径足够小的这些集合去覆盖Cantor集时，我们发现当取时，求和的结果为一有限值。并且取任意时求和结果为无穷，取任意时求和结果为0。诸如Cantor集的各种分形都有类似的分形维数，如Sierpinski三角形，Koch曲线，感兴趣的可以搜一搜他们的分形维数。

如果说Cantor集这个例子过于理论，有一个现实中很有意思的问题：将一根针旋转180度后，扫过的最小面积是多少？这个的答案是任意小，需要理解这个答案我们就要引入一个Hausdorff维数为2，但Lebesgue测度为0的集合，Kakeya集（也叫Besicovitch集）。这部分我也只是了解就不具体讨论了。