高考数学最后一题可以有多难？ 第1页

最难的应该是2008江西高考理数22题，此已经有网友分析之。此外，追踪历史的行程，似乎GJ的高考数学题用来卡学霸（也可能是他替CYG背锅？），TPS的高考数学题用来卡学神。。。（从难度和时间两个维度kacha）

数学高考压轴题题不一定出自最后两题，还可能是立体几何试题。传说中的2003全国卷就是这样的。

说明：03那道立体几何题是当年得分最低的数学试题，和03理综青蛙 那道生物实验题齐名。但究其原因与当时考生的知识结构有着很大的联系，最关键地方用到了初中知识，因此这个难度是相对难度。立体几何高考难题可能首推2011江西理数那道神题，绝对难度型。

更新：后来有人找出了一个简便的证明方法，但这个人肯定不是林杨同学。下图顺便致敬网剧《你好，旧时光》，很用心的校园剧。

现在江西用全国卷了..没啥好说难的...

想当年陶平生出江西卷的时候，那才是30万人被支配的恐惧...

关键还不只是他出最后一道题难，前面的题不麻烦也难算，喜欢放坑。至于他的最后一题，简单来说，他并不知道高中生学了什么，他觉得初等数学都能考。

总结一下我能想起来的

2006年理科 数列不等式，需要主动加强归纳证明

2008年理科 不等式（为了送点分强行第一问改成了函数求导），CMO2003年第三题n=3的特殊情况（说实话直接写n还好做点），全省均分0.31

2009年文科 解析几何，证明一个给定的椭圆和一个圆，内接三角形总有内切关系（彭塞列闭合定理）...好吧！其实对他来说不算难了，就是有点难算。不过陶爷爷对这个定理绝对是情有独钟啊，东南赛也出了一个彭塞列闭合定理的题23333

2010年理科 不定方程..这个是真的醉，给高考生做数论..关键是他每次在外面上课说起这件事的时候总要提到 “我当年给我同事上小学五年级的女儿做，她一下子就做出来了！”

还有某次联赛他出了一道根据Finsler-Hadwiger不等式改的题，全国貌似个位数的人做出来了

总之高考压轴题多难，完全取决于谁出，希望大家别碰上这么可怕的出题人（不过这样相当于试卷少了一道题，对每次考试130~140的人来说是最好的！）

有空给大家补补题

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2017.4.7更新

给大家看看2010年江西理科最后一题吧

证明以下命题：

（1）对任意正整数 ，都存在正整数（ ）使得 为等差数列

（2）存在无穷多互不相似的三角形 ,其边长 为正整数且 成等差数列

？？？

你没看错，江西高中数学并不学数论（据我所知也没选修数论吧）

全省考生除了学过竞赛的并没有做过这种存在构造性的题目，所以直接导致绝大多数人第一题都跪了...（做过一点点数论题就很容易构造出 ）

第二题也是构造性的，直接上答案吧

于是

陶爷爷看到大家都不会做，非常诧异

？？？

“明明我出的题答案就只有两行，这些小家伙们怎么不会做呢？哎...”

接下来是传说中2008年理科最后一题

稍微简化一下就是

， ，证明

再给大家看看2003年CMO第三题

给定正整数 ，求最小的 ，使得 ，只要

就有

这里取 ，在注意到 ，令

问题变为 ， ，求 使得

题目难就算了，竟然还是偷来的（捂脸）

答案好长啊 不想打了，大家自己搜一搜就知道了

最后，附上一段资料

《我观陶平生》

再说一句，陶老对我江西竞赛事业的发展还是起了重大作用的，要是没他，江西就真呵呵了。

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忍不住给大家说说这个08年的题...评论里有人说没那么难的，这题当年可真的是三十万人里没有一个人做出来啊！而且我个人感觉，这道题的难度是要超过CMO原题的...

这道题出来之后，吸引了多方火力，甚至惊动了张景中院士——

这也算是一种比较自然地做法了，但考生做这道题少说得1~2个小时才行吧...

至于答案的做法，我个人表示想不到...看一遍也不知道怎么回事...

不过从CMO那道题的角度来说，这道题还是有一个相对自然地想法的

这道题比较难的是右端，下面只做右边

首先，那道题没有告诉你上界，你只能对每个 做一些试验，当然答案一般都在全部相等或者 极端情况取到，比较容易试验出来

的时候等号在所有数相等的时候取到

这样就提供了一个思路了，可以考虑 其中的两个数，把它们变成一样的，会发生什么呢？

我们可以算一算

其中有

其中

显然 的时候把 都调整为 能让式子变大

由于 ，总有两个的乘积满足条件，这样就能通过调整把原来的问题变成一元函数的最值

求导就知道最大值在 的时候取到2

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怎么这么多人说江西考题不如葛军...我也没说葛军出题容易啊，既然大家那么想看，我就列一个吧...

比较出名的是2010年的最后一题

已知 的三边长为有理数

证明：(1) 为有理数 (2) 为有理数

介绍一下Chebyshev多项式： 是 的首项系数为 整系数多项式

这样这道题就明了了... 下面是Wiki的链接，感兴趣的同学可以看一看，在逼近论和插值多项式有很大的用处

Chebyshev polynomials

当然，不是说它简单...给高中生做不知道的还是不知道；给大学生做可能会好很多...

说江西题目容易的，不要你把上面那个不等式证明出来，麻烦你把我写的自己推一遍感受一下...