皮克定理有哪些证明？ 第1页

下面我们用欧拉公式证明皮克定理。

证明：只需证明格点三角形符合公式即可。对任意格点三角形，考虑与之翻转对称的另一格点三角形，将两者沿任意一条边粘接，形成平行四边形的面积是原格点三角形的二倍。对该平行四边形两条对边同向粘接，其结果同胚于一圆环面。此时圆环面上的格点诱导出一个正方形网格剖分：原格点是剖分的顶点，临近格点间的连线是棱，正方形格子是面。

设格点三角形的内点个数为 ，边界点个数 以下是2个三角形粘贴为平行四边形，再粘贴为圆环面的过程：

• ：原来 个内点始终是内点。设三角形重合边其上有 个非角点边界点，重合后，6个角点化为平四4个角点，非角点边界点损失 个，合成的 个点转化为圆环面的内点。
• ：平四所有的边界点化为圆环面的内点——4个角点化为1个内点，非角点边界点自我重合减半，故而圆环面的顶点个数：
  
  

棱数为 ，因为每条棱对应两个顶点。格子的个数是面数 ，恰恰是所求的面积的2倍，即 由环面的欧拉公式（亏格 ）

将上述数据代入计算得：

得证。

Remark：最近突然想到的。我想把格点图形包起来，变成一个闭曲面，然后格点就是天然的剖分，借用欧拉公式即可。当时的想法很天真，但没想到真的可以！主要的原因是零欧拉特征闭曲面存在平坦度量。

关于顶点数的计算一开始我写的太草率了，感谢 @Xipan Xiao 指出问题，我已将全部计算细节补充完整。

实际上 , 的确有巧妙的证明 . 在MSE上有这样的一个回答 , 其想法非常自然 , 是我非常喜欢的一个可爱的证明 .

考察平面格点简单多边形 (下文中 作为集合时表示由其内部点构成的集合) , 记 即 的边界 . 考察其平面上的特征函数 . 很显然其面积被定义为 .

现在我们来观察 , 即 , 在每个平面格点处复制一份 然后将其特征函数求和 , 这是良定义的 , 因为 是一个有界图形 . 定义 为将 绕一个格点旋转 得到的图形 (或者说关于一个格点作对称) , 我们声称平面除去全体格点 (显然是一个零测集) 以外的区域内 是一个常函数 :

显然平面除了全体格点以外区域 , 其中的任意两个点 , 可以通过一条不经过格点的路径相连 . 考察在这路径上函数的值 , 如果不经过任何一个 或 复制的边 , 结果不变 ; 当经过某个 的复制的一条边时 , 对应地会经过另一个 复制的边 , 因为边上这值以 分摊 , 而这条边前后所述的区域恰好其一属于 , 其一属于 , 因此这值在跨过边的前后也不发生改变 .

现在考察这常数 是多少呢 ? 一方面 , 取 为单位正方形 , 那么常函数的积分值得 , 由控制收敛 , 在单位正方形积 相当于在全平面积 . 于是 是 面积加上 的面积 , 也就是 面积的两倍 .

另一方面 , 我们考察沿着圆心在原点 , 半径 这个充分小的圆的边界 作围道积分 . 这个 小到什么程度呢 ? 要小到这些 的复制的任意一条不以原点为一个端点的边 , 都与其不相交 , 这总可以做到 (为什么 ?) . 于是其所需要积分的部分 , 是在全平面每个格点 (因为每个这样的格点恰好被平移到原点一次) 的附近 , 考察一个半径 的小圆到底有多大一部分圆弧位于 (或 ) 的内部 .

于是 : 对于角格点 , 这值是 , 其中 是这个角的角度 ; 对于边格点 , 这值是 , 对于格点在其内部是 ; 格点在外部则是 .

求和正是 . 假设面积为 ; 顶点数量为 , 边上格点数目为 , 内部格点数目为 . 因为 边形的内角和为 , 注意 ! 计算多边形的内角和相当于间接使用了欧拉公式 . 因此 , 于是 :

也就有 即 , 其中 为边界的格点数目 , 为内部的格点数目

参考链接 : https://math.stackexchange.com/questions/636575/how-to-generalize-pick-theorem

Pick定理：格点多边形面积等于 ， 为多边形内部的格点个数， 为多边形边界上的格点个数。

这个定理有一个奇妙的解释：在平面的每个格点放置一个热源，每个热源拥有相等的热量 。经过很长的时间后，热量将会传导到平面的每一个地方，平面将会以单位密度 均匀地拥有热量。

这个“传导”......其实可以看成一个热方程描述的过程

现在我们求解多边形内的热量大小。因为热量密度是 ，所以这就是多边形的面积。考察多边形的任意一条线段，这线段的两个端点都在格点上，所以整个平面关于线段的中点对称，朝两个方向流入流出的热量是相等的。这样我们立刻发现，多边形内部的热量全部来自内部和边界上的格点。内部格点的热量当然是 ；对于边界格点，我们把多边形的边数设置为 (意思是，有可能有一条边中间也有格点，这时候我们把这个中间的格点也算作多边形的顶点)，顶点对的内角为 ，则多边形的内角和为 。因为边界格点给多边形贡献的热量为角内部的部分，所以总热量贡献为 。

所以多边形内部的总热量为 。

可以想一下怎么把这样的“物理证明”严格化。