现代数学是不是比大学数学中优雅的结论少了很多？ 第1页

谢邀：不是。

第一，“马后炮”的天然优势。课本上的“优美结论／“优美证明”是经过上百年的研究或者几十年的教学沉淀后去粗留精的结果，而不是说它们最早的雏形就多么“完美”，最早的证明就多么“鬼斧神工”。举几个例子吧，如果你去看Wiener's lemma, 这个结论最早的证明是非常暴力的，后面用banach algebra的思路才得到一个优美的证明。 泛函分析上很多定理最早的样子是颇为“怪怪的”，比如Banach-steinhaus的原始论文之一：

http:// matwbn.icm.edu.pl/ksiaz ki/fm/fm9/fm918.pdf

这是法语论文，你会发现最早这个定理是很具体的来自于Fourier series的。现在大部分书上这个定理的证明都是用baire纲证明的，但是其实它最早的时候用的是一种“gliding hump”的方法，这个方法本质上是在假设 情况下构造一个 使得 ,这个想法本身反而更加“朴实”。一句话，课本上的知识是天生的“马后炮”，它永远有能力有本钱站在历史的高度上去粗留精的。是为了让初学者觉得友好自然而然的“化妆”。

第二，“课本包装得更好“。在数学中，一个数学对象相关的很多“简单优美”结论是初期比较容易“找到”的，因为那些结论本身就影响了“概念的定义”。一个结论优美与否，很多时候和你如何“定义”有关系，你定义不同，自然结论看起来优美与否就不一样了。当然了，也有人喜欢说这是“观点高低”不同，不过，我不太喜欢用这种鄙视链逻辑。我喜欢更中性的：概念本身不同。据一个例子，如果你没有“连续性”这个定义，你等价表述的中值定理就不“优美”的多。再举一个例子：

很繁琐的论述吧？但是，当我们引入“regular, amenable, smooth”等概念后，上面那个“繁琐”的定理等价于下面的结果。

这两个例子比较trivial，本质上“定义”只是“表述上”的简化，但是也有“定义”带来本质上的改进。地球人都知道的微积分基本定理，如果你只知道“黎曼积分”，那么这个定理自然就是“不完全”, 你总是得起码要求导函数得满足黎曼可积性。如果你学过gauge积分，那么一个函数可导，那么不需要要求导函数的任何性质，我们就可以得到在这个导函数在gauge积分（Henstock–Kurzweil integral）意义下是可积的，而且微积分基本定理无条件满足。值得一提的是，即使是这个gauge积分本身也有常见不同的两种定义方式，最早的那个也是比较“繁琐”的。 除了“定义”这个包装，课本本身有“系统化”的包装，这个包装本身也会让你觉得定理更优美。

回到你最后的一个问题：

“研究数学的时候数学还是像你刚学数学的时候那样美好么”

我的回答是“不是的，那是不一样的美好”。

学数学永远比研究数学便宜得多。

学课本上的数学就像看好莱坞的商业大片，你知道王子和公主最后一定会在一起，你知道结局一定是美好的，课后的那些习题也不过是注定有答案的美好结局。但是，研究数学是一种冒险，相当于你进电影院随便盲选一部电影看，你是高概率被喂屎的。

学数学就像是一个可以开“金手指”的游戏，你就算懒得看“证明”，也能很便宜地知道一个结论对错与否。但是，研究数学是没有金手指可开的。你永远不要高估自己的“直觉”。因为，你在真的开始研究之前是不太清楚你的研究的东西有没有答案的，自然也很难预测“答案”了。

甚至天才数学家也不能完全“预知”，他们的研究也会陷入和预期不符合的情况。

这里我讲一个故事，就是Milnor的怪球。1956年的时候，他试图去证明“光滑流形”上的(微分同胚)庞加莱猜想，那个时候虽然大部分数学家都觉得这个“猜想”在“光滑流形”上也是“不言自明的”。即使每个人都没真的去证明这个结论，每个人都觉得这个结论是对的。他自己这样说：

“This was something which hadn’t been expected, and I am not aware that
anybody had explicitly asked the question; we just assumed the answer was
obvious.

但是，这个问题没有表面上的简单。或者说，他涉及到一个比微分结构更“本质”的一个问题：

Milnor本来的意图是改进Thom的分类结果, 也相当于证明光滑版的庞加莱猜想，结果他没法改进，反而发现了一个7维反例。对了， 1,2,3,5, 6 维的时候这个结果是对的 Generalized Poincaré conjecture。

说了那么多，研究数学就是痛苦吗？不是的，当你证明了一个从未被人证明的结论的时候，那种快乐是理解100个现有结论不能给的。对了，如果你证明的结果和预期不符合，你会更快乐。即使你证明出来的东西并不漂亮，不完美，甚至在旁人看来是无意义的，但是我个人的感受的确是快乐的，而且是非一般的快乐。（当然了，这是个人体验了，有些人可能更喜欢一切都和预期的一样，只享受“自己的数学很牛逼”的感觉）

研究的时间长了，我的数学兴奋点都和初学数学是不太一样了。很多数学初学者“只能“享受到解决问题的快乐，享受自己“很牛逼”的感觉，他们天然地更“喜欢”那些一看就知道怎么做的东西。数学研究得时间一久，当你发现一个问题无法用你所知的东西解决的时候，你反而会更兴奋。因为，你知道前面是“未知”。

当然了，没人不喜欢征服感和荣耀感。只是很多人被这种感觉给限制了，不能让自己踏出“舒适圈”。如果你更喜欢在舒适圈呆着，喜欢在有安全感下学数学，那么你做研究反而有“障碍”，研究往往不舒适，经常有意外，经常不安全。自然，也很难谈什么“优雅”。反正，我被“困住”的时候经常疏于打理自己，人都很难“优雅”了。