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怎样直观的理解「极大无关组」,以及极大无关组的求法? 第1页

  

user avatar   tetradecane 网友的相关建议: 
      

@David KZ 回答得很好,我稍微补充一些。

一个向量组的线性组合构成一个线性空间,我们称“该向量组张成了这个线性空间”,这个线性空间就是该向量组的向量空间

一个向量组的极大无关组不是唯一的,但是它能最精简地保留原向量组的秩,也就是向量空间的维数。极大无关组可以作为其向量空间的一组基,也就是某种斜坐标系

一个非零向量能张成一条直线(一维);两个非零向量可能张成一个平面(二维),也有可能共线(即线性相关),只能张成一维;三个非零向量可能张成三维、二维或一维,以此类推。

如果一个向量可以被别的向量线性表示,那么它被称为“冗余”的,它在向量组张成向量空间时起不到任何价值,不能增加维度。显然,一个向量至多增加一个维度。

我们对矩阵进行初等行变换变为阶梯型的时候,就是把那些能被别的向量表示的“冗余”、“无价值”的向量进行“剔除”,剩下的极大无关组就是那些“骨干”、“真材实货”。

当然,“冗余”也是相对的。比如说存在这种情况:a和b能表示c,a和c也同样能表示b,b和c也同样能表示a. 在这种情况下,剔除a, b, c其中任意一个向量都可以。


老规矩,推荐这个视频系列:




  

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