现代数学里有哪些本质的结论? 第1页

数学里面有一种叫做元定理的东西，这种存在比较符合“数学的本质结论”这个字面意思。但是我这里打算顺带给出一些交叉学科的“元定理”，我个人觉得这些也可以算得上是本质结论了。

数学物理

• 有穷主义纲领：现实世界的一切作用量都是有穷的

一个没有什么希望的开(？)问题是量子力学过程是否是有穷的?这将对应非幺正的量子力学过程

• 邱奇-图灵论题：一个函数现实世界可计算当且仅当图灵机可计算

一个更常见的说法是宇宙等价于图灵机。

这个结论是如何得到的呢？主要依赖于以下公认的物理事实：

• 有穷主义纲领（这拒绝了将时间和空间以及纠缠对进行无限小的划分和无限扩大）
• 幺正性（物理规律必须是线性作用）
• 信息传播最大速度为光速
• 时序保护假设（不能逆时序发送信息）

标准的量子计算位于BQP，它本来是被认为是和图灵机等价的。目前唯一可能的例外是两位共享量子纠缠的超人可以为经典计算机编码停机问题的解。但本来单个超人理论上的停机极限就可以达到AD...所以说到底这只是显示出人智的威力而已。

但无论如何，即使是宇宙不等价于图灵机，也可以来个扩展邱奇-图灵论题，让宇宙等价为某种超图灵机。真的如同哥德尔一般指望人的心智具有对哥德尔不完备定理的完全超越性是非常的匪夷所思和童话色调的。

• 庞加莱始态复现定理：宇宙等价于复读机

这个定理具有两面性，一方面可以用来治疗熵增绝望教，一方面可以用来赐予自由意志主义分子绝望^[1]。

• 兰道尔极限，热力学第三定律

虽然热力学定律只是一个统计定律，但兰道尔极限从本质上揭示了信息熵和热力学熵之间的等价关系。而这种等价关系为热力学第三定律提供了一个“绝对静止”和“绝对空无”之间的数学上的关联论据：不存在任何语义学对象，具有零信息熵。

• 奥卡姆剃刀定律：额外参数更少的物理解释更加可信

这个“公理”其实也可以转写为数学物理的形式：算法熵更低的演算法更为符合现实世界的物理情况。

这个公理的严格形式是和没有免费午餐定理相违背的。但是如果你将其视为从统计学原理导出的一个元物理学结论，那还是可以兼容并且自然的。即所谓的贝叶斯奥卡姆剃刀。

详见：

• 蝴蝶效应（初值敏感性）：一个微小的误差足以造成预期上巨大的失真

这个关于逼近论的无能性定理可以赐予决定论分子必要的绝望面对一下物理现实。

• 量子不可克隆定理：不能绝对成功地准确复制一个你未知的单量子

这个定理作为量子秘钥分发的基石的同时也阻断了通过量子纠缠效应超光速的可能途径，并且理所当然地给将来的量子计算和量子纠错带来阻碍。

• Bohigas–Giannoni–Schmit 猜想（未被证明）

虽然相关猜想未被证明，但如果成功无异是公理化物理里面最重要的成果之一。这一系列猜想断言Riemann ζ 函数的非平凡零点与某个厄密算符的本征值存在联系，以及随机厄密矩阵所描述的量子体系在经典极限下对应于经典混沌体系。

社会科学

• 没有免费午餐定理：不存在通用最优性能演算法。

这一符合元数学常识的元定理也可以转写为：若算法A在某些问题中比B平均性能优秀，那么必然存在另一些问题B比A平均性能优秀。这里的A和B都是关于元算法的结论，因此将A设为随机乱猜，将B设为科学研究方法，商业决策，政治决策，便可批量得到许多骇人听闻的结论。

• Brandenburger-Keisler不完备定理： 不存在一阶逻辑语言上的信念系统可以令人相互理解 。
• 孔多赛投票悖论：

• 阿罗不可能定理

阿罗不可能定理其实并不是否定了民主的可能性，而是……

元数学

• 柯里-霍华德同构：任意数学命题的类型严格定义都与它的证明/否证无异

可谓是证明论中最典范的元定理。当然也会带来一些麻烦，比如会导致证明售卖平台的不可能性，以及对一些基于零知识证明的匿名币进一步去中心化的阻碍。

• 哥德尔第一不完备定理：一含有加法和乘法算术的完全二阶算术系统内可构造以下存在性证明：系统内存在一系列可识别命题不能构造其证明与否证。

一个被民科民哲玩烂的定理。最贴近人心的说法是机器自动编程是不可实现的，或者不引入不可定义的符号不能定义一切可定义的符号。

• 哥德尔第二不完备定理：一个含有加法和乘法算术的完全二阶算术系统必不能证明自身自洽。

又一个被民科民哲玩烂的定理。最贴近人心的说法是机器自动纠错是不可实现的。

• Chaitin不完备定理 - 编程员充分就业定理

是否存在某种演算法可以计算任何数据的算法熵？是否能得到完美压缩算法？

算术系统是否真的能够不受限制地识别任意大的自然数？

以上命题的否定结论从数学层面充分捍卫了程序员的岗位存继，是哥德尔第一不完备所指的不可证命题的一个清晰可见的实例。

• 哥德尔完备性定理 - 紧致性定理 - 向下 Löwenheim–Skolem 定理

这其实是最为核心的元定理，也是一阶算术的中心性质。事实上这三个定理是相互等价的并且都是选择公理的弱化：

• 完备性：所有真命题^[2]都是可证的。
• 紧致性：一个关于一阶句子的集合是一致的，当且仅当它的所有有限子集都是一致的。
• 向下 Löwenheim–Skolem：所有一阶语言的句子的模型都可在外构造一个初等等价的可数子模型。

最反直觉的向下 Löwenheim–Skolem 定理允许你将任意基数，包括大基数的模型，在外构造一个模型将其指认为可数的，也因此被称为Skolem 悖论。

• 一个带等词的一阶算术理论如果只有无穷大的模型，那么可以构造一个保守扩张使其有限公理化

Craig和Vaught在Finite axiomatizability using additional predicates, Journal of Symbolic Logic 23 (1958)证明的这个结果可以用于移除一阶算术理论中的公理模式。

• 不可能存在一个演算法可以判定随便哪一个完全三阶算术语句是否可解的
• 对于高阶算术的每一个公式都可以找到等价的二阶算术公式
  

一阶算术因为具有良好的中心性质，而为了躲避二阶以上算术的各种不完备定理，目前所有的主流二阶集合论实际上都是Henkin语义下的二阶算术，或者说two-sorted first order language（也有翻译为一元二阶算术），事实上所有主流的集合论要么就是纯一阶算术或者是改头换面的一阶算术。

对于一个柏拉图主义者/结构主义者来说，具有这样的图景：

1. 一个涉及封闭力迫法，取代力迫法并且解决连续统假设的集合论将会是三阶算术。
2. 对于高阶算术的每一个公式都可以找到等价的二阶算术公式。
3. 有一些大基数只在完全二阶语义中可定义，而Henkin语义不可定义。
4. 下降到Henkin语义，具有完备性，紧致性，半决定性，向下 Löwenheim–Skolem和有穷公理化。
5. 反射论证和实数的高阶性质只能在二阶Henkin语义中定义而纯一阶算术不能实现。
6. 最终下降到命题逻辑（零阶算术），获得可判定性。

• 香农极限，汉明极限等关于信道传输和纠错码的极限定理，以及他们的量子化版本

别的学科的创始人是发明了一个新的起点，而香农在创立信息论的时候，直接发明了它的终点。

• Kunen不一致定理：不存在非平凡初等嵌入

超穷的阶梯是否能够不受任何限制向上攀登？超穷本身是否存在一个“极限”？Kunen不一致定理向我们展现了无限本身并没有我们所想象的那么“无限制”，本身还是会有一个“顶”的。

• 塔斯基真不可定义定理：不可能系统中定义“系统标准模型的真谓词”。

这个元定理可谓是单一数学定理对于哲学领域起到影响最大的一个元定理，因为人脑可以毫无阻碍地识别任何有穷层次甚至超穷层次的真之定义，而塔斯基真不可定义定理在哲学上就非常违背人的直觉。目前还没有一种解决方案可以完美解决这个问题：

1. 多值逻辑方案会面临Revenge Paradox说谎者的复仇悖论
2. 使用直觉主义类型论定义全体有穷层次的真，需要引入超穷层次
3. 使用超穷层次来定义有穷层次的真会引入超穷Herzberger悖论

唯一值得丧事喜办的一件事是根据Kunen不一致定理，超穷层次本身是有“限制”的，所以在超穷层次寻找元语言定义真谓词的俄罗斯套娃过程或许可以在终极-L之中可以得以停止。

• CAP定理：在满足分区容错的前提下，没有算法能同时满足数据一致性和服务可用性。

最后就用这个凑数好了。

参考

1. ^只要量子力学过程是有穷的这个定理就成立，自由意志分子不要妄图用量子神教续命 https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_recurrence_theorem#Quantum_mechanical_version
2. ^可之前我们提到过塔斯基真不可定义定理，那么这里怎么定义真命题呢？参见 https://zhuanlan.zhihu.com/p/33049096