牛顿在数学方面有多牛？ 第1页

我们可以从一场数学史上极富盛名的挑战赛来比较一下牛顿和同时代其他数学家的水平。

约翰·伯努利在1696年提出最速降线的问题（problem of brachistochrone），向全欧洲数学家征求解答。这个问题最早由伽利略在1630年提出：

“一个质点在只受重力的作用下，从一个给定点A到不在它垂直下方的另一点B，问沿着什么曲线下滑所需时间最短？”

然而伽利略自己给出的答案是错误的：他认为这条曲线是过AB的圆弧。这条曲线也不是连接AB两点的直线，尽管AB间线段最短，但小球滚下来的时间不是最短。

伯努利把此问题发布在Acta Eruditorum上，他还这么说：

“我，约翰·伯努利，想找到世界上最出色的数学家。对聪明人而言，没有什么能比一道诚实而富有挑战性的难题更有吸引力，其可能的解决方案将会成为一个永恒的纪念碑。按照帕斯卡，费马等人设定的例子，请允许我代表整个数学界将这个尤其能在今天考验大家的数学技巧和思维耐力的问题展示在最优秀的数学家面前。如果有人能把答案递交与我，我会将其公开，并授予其应得的奖赏。”

伯努利原定的截止期限是1696年年底，可是他只受到了一份来自他的老师莱布尼兹的解答。莱布尼兹要求伯努利将截止期限延长到来年复活节（大致在3月下旬到4月下旬之间），以便让欧洲数学家们有更多时间来充分解决此道难题。约翰·伯努利亲自把最速降线问题抄了一份，装进信封寄给在英国的牛顿。

1697年1月29日，牛顿正在造币局里忙着改铸新币的工作。下午4点回到家里，他看到了邮箱里伯努利寄来的问题。尽管牛顿非常疲惫，他立即彻夜未眠的投入研究，在凌晨4点时得到问题的解答。他将他的解答寄给好友兼皇家协会主席查尔斯，随后皇家协会以匿名的形式发表在Philosophical Transactions上。

要知道，此时的牛顿已经56岁，工作重点是皇家铸币厂监管。他还在1690年代写了很多处理圣经的文字解释的宗教小册子。即使如此，在忙了一天的本职工作后，牛顿还是用几个小时就解决了许多欧洲数学家都无法解出的难题。约翰·伯努利本人也花了两个星期的时间才完成解答。

1697年复活节的截止期限，伯努利共收到了5份答案，他自己和其老师莱布尼兹，第三份是他的哥哥雅可布·伯努利，洛必达是第四个，最后是一份匿名答案。伯努利在阅读最后一份解答时立即认出它的作者，他惊叹自己

“从利爪上认出了这头狮子（recognizes a lion from his claw mark）”

在给查尔斯的信里（谢评论区@安然 指出），牛顿还写道：我不喜欢在数学上被外国人糊弄（I do not love to be dunned and teased by foreigners about mathematical things）。

莱布尼兹后来还有一次向牛顿发起挑战。那是1715年，莱布尼兹要挑战英国数学家，当然主要是挑战牛顿，要求给出寻找单参数曲线族的正交轨道（orthogonal trajectories of a given family of curves）的一般方法。这在当时是个悬而未决的难题，莱布尼兹本人也仅仅解决了该问题的特殊情形，不像约翰·伯努利在发起最速降线问题的挑战时，他本人已经知道答案。

尽管牛顿当时已经是74岁高龄，他依旧一身疲惫的从造币厂下班回家，然后花一个晚上时间把问题解决，并将解答发表在1716年的Philosophical Transactions上。

容许我再作一些说明。我举这两个挑战的例子，根本不是为了说明最速降线问题和曲线族正交轨道这两个工作对牛顿的数学成就有多么重要。实际上，牛顿求解这两个问题用到的技巧都不是最巧妙的，在求解最速降线上用到变分的思想，在曲线族问题上用了普通的二阶常微分方程。解决这两个挑战，不过是牛顿对莱布尼兹和伯努利等欧洲数学家的质疑进行回应。提这两个挑战，目的就是展示牛顿在数学方面的天赋和求解难题上惊人的智力。

将牛顿和高斯，欧拉放在一起比较数学贡献是毫无意义且不公平的。他们都是天赋禀异的大师，他们的数学工作对后世的启发都是极其深远的（当然欧拉更是一位以高产闻名的数学大师）。但他们根本不是一个时代的数学家。哪怕是同一个时代的莱布尼兹，他在数学上的贡献也是极其广泛，连牛顿早期也称赞他是“最杰出的几何学家”。有人会说没有牛顿，微积分也会被莱布尼兹提出。这当然没有错，但牛顿对微积分的贡献同样是莱布尼兹所无法取代的。他从物理运动和几何方法出发研究微积分，莱布尼兹则更为系统严密的从分析学出发。

牛顿对数学的贡献是极其广泛的。广义二项式定理，牛顿恒等式、牛顿法（逼近函数的零点），立方面曲线分类，有限差分理论，丢番图方程。他用对数趋近了调和级数的部分和（这是欧拉求和公式的一个先驱），并首次有把握地使用幂级数和反转幂级数。莱布尼兹跟牛顿争了大半辈子关于微积分的发明权，直到去世后几年学术界还在争执。但莱布尼兹是这样评价牛顿在数学上的成就：

“在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半”。