你遇到的最难的一个数学题是什么？ 第1页
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peterscholze 网友的相关建议:
以前看到的一支Numberphile的视频，介绍了一个很简洁的丢番图方程，
如何计算它的一组整数解？
由于丢番图方程的求解被限制在整数范围，所以许多看起来简单的问题通常都有非常复杂的解。上面的问题就是一个典型案例。
1992年，Roger Heath-Brown在研究弱近似原则失效形式的零点密度问题时，提出了一个猜想：
对于任意一个正数，丢番图方程有无穷多组整数解。
(如果没学过初等数论的话，就把看作，也就是或。)
如今这个猜想没有得到证明，而且，人们求解丢番图方程的过程也是困难重重。
首先解释一下Heath-Brown的猜想中为什么要有的条件。
已知任何一个整数都可以写作如下三种形式中的一种，，分别计算它们的立方，
三者被9整除的余数分别为0, -1, 1，所以对于任意整数，有。
根据同余运算的基本性质，若，，则，所以有
由此可知，当时，方程不存在整数解。
所以，在求解方程时，不需要考虑或的情况。
可是，取100以内的数，即便已经排除掉4, 5; 13, 14; 22, 23; 31, 32; 40, 41一类的情况，在我看视频的2017年，对应的整数解依然一组都没找到。（更遑论无穷多组整数解了。）
当然，并不是每一组解都难找。比如，时，对应；时，对应；时，对应。数学家们甚至还找出了时对应的参数解（时的参数解你也能找到，就别劳烦数学家了）：
2019年上半年，英国数学家Andrew Booker找到了丢番图方程的第一组整数解。当然，数学工具还是椭圆曲线那一套，求解过程大概是[1]：
当然，这里只是给出了思路和算法，执行层面还是要依靠计算机。
最后的计算结果为：
即，
也许有人会说，相比于那个计算苹果香蕉菠萝正整数解的网红问题，同样用到椭圆曲线，人家的结果长达80位，而这个问题的答案只有16位数，是不是显得“简单”了点儿？
实际上，将水果问题的齐次方程转化为Weierstrass形式后，很容易得到它的一组整数解11, 4, -1。（如果足够有耐心，甚至都不需要椭圆曲线就能手工暴力破解出来。）
此后，以这组解为起点，在椭圆曲线上利用弦切技巧进行加法运算寻找有理点，多次迭代后总会得到让三种水果都为正数的答案。
（对于这个水果问题，找到第一组解后，计算机进行了8次不算复杂的迭代，最终找到了那三个大得惊人的正整数。）
但是对于丢番图方程，为了找到那个长达16位数的答案，Andrew Booker动用了布里斯托大学计算中心的超级计算机
算了整整一个月。
“The total computation used approximately 23 core-years over one month of real time.”[2]
补充一句，根据Andrew Booker的方法，2020年，对应的整数解被MIT的学者找到（因为33和42都满足的形式）。
100以内可行的数字终于全部破解。
参考
inversioner 网友的相关建议:
拉格朗日四平方和定理，以前看到的时候证了几天没证出来。
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