这个不等式怎么做？ 第1页
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积分不等式常常可以用概率论来证明。令 和 ，则原题化为 。我们可以考虑一个加强的命题：若 是独立同分布的随机变量，则 。由此立得 。
对于任意随机变量 总是成立 。记 的分布函数为 ，其特征函数为 ，根据逆转公式(inversion formula)
对 的任意连续点 成立
可得对 成立 ，注意积分可忽略零测集；在上式中利用控制收敛定理交换积分顺序，可得 。
为了证明 ，只需 对 成立；而积分得到实数，且 ，注意到 的实部不超过 对 成立即可。
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