为什么1/49前面几项刚好是等比数列0204081632……，这是巧合吗 ？ 第1页

不是巧合，并且不只是前几项，实际上从第一项到无穷多项都符合该规律，12位以后看起来不像，其实是因为进位了：

        02 +  04 +    08 +      16 +        32 +          64 +           128 +             256 +               512   +                1024 +                  2048 +                    4096 +                      8192 +                       16384 +                         32768 +                           65536 +                            131072 +                              262144 +                                524288 +                                 1048576 +                                   2097152 +                                     4194304 +                                       8388608 +                                        16777216 +                                          33554432 =020408163265306122448979591836734693877551……     

下面我尝试不用求和公式∑和积分证明，这样只需要用到小学知识就能看懂了：

• 假设有这么个循环小数组成了等比数列：

S = 0.02 + 0.0004 + 0.000008 + 0.00000016 + ……

• 注意到每项刚好相差50倍，那我们将他乘以50：

50*S=50*0.02+50*0.0004+50*0.000008+50*0.00000016+……

=1+0.02+0.0004+0.000008+0.00000016+……

• 不难发现乘以50后，除第一项外，剩下的项和原数列一模一样。

两项相减
B-A=50*S-S=1
所以：S=1/49

• 类似的，可以用此通项公式（S×10ⁿ - C×S×10ᵐ = D）生成任何你想要的数列小数；

1/98=0.01 02 04 08 16 32 65……（从1开始）

1/499=0.002 004 008 016 032 064……（相隔3位）

1/997=0.001 003 009 027 081 243……（3倍等比）

890/891=0.9988 7766 5544 3322 1099……（邻位重复）

1/243=0.004 115 226 337 448 559……（隔位等比）

1/8181=0.0001 2223 4445 6667 8890 1112 3334 5556 7779……（邻位重复+隔位等比）

1/3321=0.00030 11141 22252 33363……

1/21951=0.00004 55560 11115 66671 22226……

• 我们知道，兔子数列（1、1、2、3、5、8、13、21、34。。。）是一个伪等比数列，
  其前后两项比值的极限收敛于1.618...（黄金分割比例）。

其通项公式为

那么，这种非有理数比值的伪等比数列能不能构造出来呢？

其实也是可以的：

100/9899=0.01 01 02 03 05 08 13 21 34 55……

构造方法：

S=0.01+0.0001+0.000002+0.00000003 + ……

100S=1+0.01+0.0002+0.000003 + ……

10000S=100+1+0.02+0.0003+0.000005 + ……

10000S-100S-S=100+1-1+0.02-0.01-0.01+0.0003-0.0002-0.0001+0.000005-0.000003-0.000002 + …… （这样一来，每项都消除了）

=100

S=100/9899

这波肯定是星巴克理亏，因为是一元的硬币。

硬币问题似乎是有个上限，说需要支付的金额超过币值乘多少，就可以要求顾客支付更大面额的货币。至于这个 币值乘多少的多少，究竟是 50 还是 100 还是更多，不记得了，这个问题以前可能讨论过，不知道有没有知友存在这方面知识。

星巴克的单人消费大致在50-100元以内，使用 1 元硬币支付的话，大概率不会达到允许拒收的额度，所以这波肯定星巴克理亏。

如果是支付 1 角 的硬币，购买100元的商品（需要一千枚），这个大概会是有相关法规存在的。而且真用一角硬币的情况下，舆论也不会支持顾客了。