如何证明有理数加法群不是有限生成群？ 第1页

我来写个（大炮打蚊子的）代数几何证明[doge]。

评论区有个更简短的证明：若 是有限生成群，则 是一个有限生成 模。从而 有限，从而它是闭的，从而是proper的^[1]，从而像集是闭的。但是唯一的点 映射到 上的 generic point ，像集不是闭的（generic point的闭包是全集）。

下面是原回答：

环的包含映射 诱导了 的 dominant map：唯一的点 映射到 上的 generic point 。我们知道 的闭集是有限个 closed point 的并，所以不是闭的（它的闭包是全集），也不属于除了全集以外的任何一个闭集。它也不是开的（因为它的余集是个无穷集，不是闭的）。从而 不是一个 locally closed set，作为单点集当然也不是若干 locally closed set 的并，从而它不是 constructible 的。

现在若 是有限生成群，等价于 是一个有限生成 模。从而 有限，由Chevalley’s Theorem，它的像是 constructible 的，这就得到一个矛盾。

参考

1. ^ https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_morphism#:~:text=Finite%20morphisms%20are%20closed%2C%20hence,they%20are%20quasi%2Dfinite