2020 年高考数学最后一道大题难吗？你能想出哪些「出其不意」的解法？ 第1页

写个理数全国三卷的。

设函数 ，曲线 在点 处的切线与 轴垂直。
(1)求 ；
(2)若 有一个绝对值不大于 的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于 。

(1)求导： 。条件就是说 ，得到 。

(2)在我这个竞赛党看来简直就是小清新，与前几年那些油腻的求导大战题都不一样。大家也许会想到三次的韦达定理，但是这个题目并不需要劳烦韦达来解决。

假设其中一个根是 ，满足 。那么 。如果方程只有一个实根，那么命题已经成立。否则设另一个实数 也是 的零点，则 。两个式子相减：

。

把它看成关于 的一元二次方程解得 ，从而由绝对值不等式

。

我们要证明 。接下来怎么办？这里提供两种办法。

①高阶玩法，数竞快乐题

由柯西不等式：

，

也就得到 ，证毕。

柯西不等式是数学选修不等式教材上有的东西；此外还有排序不等式，但是那个基本上是不会用到的。

②朴素玩法

令 。在不知道怎么办的时候，我们还可以求导。

，

的根是 ，且 在 左侧大于零，右侧小于零。也就得到

。

从而 。证毕。

解法体现的思想是，用已知的去表示未知的。已知有一个零点满足条件，要证明另一个也满足，就一定要找到二者之间的关系，最好是要用已知解出未知。这里就是用 解出 。

今年压轴题中规中矩的，感觉不太像压轴题，没有什么亮点(´･ω･`)

祝考生取得好成绩！

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这是我看到的最准确的总结。

总的来说，就是中国的高考相对公平，所以性价比极高，所以其他活动都可以适当让步。

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