函数 是连续函数的情况已经有很多回答说了。下面举一个不连续函数的例子使得答案不对。
设函数 满足 ,令 。根据 的函数方程得到 ,且 。所以
。
结合三角函数公式就知道这个 确实是函数方程的一个解。
下面构造一个 。考虑 上的线性空间 ,选择公理告诉我们线性空间必有基。设其中一个基是 ,则对任意 ,存在有限个 使得
,
定义
;
而 可以随意指定。 。可以验证这样定义的 完美符合函数方程 ;且多数时候 都不是连续函数。
这里先假设 在 连续(因为不连续的情况讨论起来相当麻烦)。
如果 是常值函数,即 ,得 ,即 。
现在假设 ,令 ,得 ,即 ;
令 ,得 ,即 是个偶函数;
又因为 连续且 ,因此 满足 ;
当 ,取 ,得 ;
令 ,得 ,于是有:
而对于 则有:
又由于 ,得 ,从而有 ,这些 ;
最后通过连续性(具体步骤略,可以参考柯西方程 解法)得 。
而当 时,我们可以用类似的方法(具体步骤略)得出 。
这是我看到的最准确的总结。
总的来说,就是中国的高考相对公平,所以性价比极高,所以其他活动都可以适当让步。