标记 n 维空间中任意一个点/向量一定要用 n 个坐标吗？ 第1页

“是否可以用少于n个参数标记n维空间中的某一个点？ 或者用多于n个参数标记n维空间中的点但不重复？”

——还真的是可以的。然而，这样的记法会显得很不“完美”。

从哪个角度来讲，这都是特别好的问题，越是看似显然，却能够深入到不同领域的基础。以下放宽语言严谨性，但会尽量保证内容严谨。读者仅需知道一下连续映射、单射、满射、一一映射的概念。

(“一一”二字看起来永远都像破折号啊～心塞。)

我们记n维欧几里德空间为R^n，是由一组n个可以独立取值的实数坐标一一对应描述的空间。任意给定一组n个实数(x1,…,xn)，则唯一对应这个空间里的一个点。

事实上，对于不同的m和n，R^n和R^m之间存在一一映射。数学上讲，叫做它们具有相同的cardinality.

证明方法是很有趣的，其实若能证明R和R^2存在一一映射，便可归纳至高维。尤其是，它不涉及高深的数学(只要你会把实数写成小数形式就行了～微笑～)，题主完全可以理解。请见链接中第一个回答。

Examples of bijective map from $mathbb{R}^3 ightarrow mathbb{R}$

那么我们move on，“n维空间的所有的点是否能完美地，不重复地变换到n-1维去？”

这就神秘了。什么叫做“完美”呢？

为什么说像上面这样的映射不完美呢？其实题主提到了积分中的坐标变换(通过雅可比行列式)，那么答案是明显的。它们之间的变换，应当连续，甚至光滑。而之前那个映射，不连续。

从数学上来讲， 我们的问题变成了：对于不同的m和n，是否存在R^m与R^n之间的一一映射，它是连续的，并且逆映射也连续？(同胚映射) (注：由于我们对于该映射及其逆映射提出了相同的连续性要求，因此仅需要对n>m或者n<m中的一种情况做出判断，则反过来的情况结论是一样的。)

它不存在。

拓扑学中有一个定理，叫做Invariance of Domain。

Brouwer’s fixed point and invariance of domain theorems, and Hilbert’s fifth problem

将截图中的推论(corollary)翻译过来，说的是对于n>m，R^n中的任意开集都没有到R^m中的连续单射，因此R^n与R^m就更不要提连续的一一映射了。

值得注意的是，常见的拓扑学教材(包括截图中的陶哲轩博客)都把该结论(R^n与R^m不存在同胚映射)称作是“intuitively obvious”，即直观上显然，从而衬托出“数学不能相信直观”，“直观上显然不代表数学上显然”的重点。而题主作为高三学生能自动把这件事当作一个不平凡的问题看待，实在不一般！