在有界闭区域上连续的多元函数一定有最大值和最小值是否正确？ 第1页

不正确。比如给 离散度量（定义任意两不同点间的距离为1，相同点距离为0），那么 是个有界闭区域， 连续，没有最大值。

这可能不是你想看到的，你想要的“多元函数”每个变量应该在正常的实数直线上。然而这种情况也有反例。考虑 。给每个变量的 正常的拓扑，给 一致拓扑，也就是说 和 的距离等于 。下面设 。 是有界的，因为 里任意的元素和0的距离都不超过1。 是闭集，因为一致收敛性保持极限不变。下面令 定义为 ，那么 连续，因为如果 那么 。 的上确界明显是1，但这个值取不到，所以 没有最大值。

即使我们再要求一定要在欧氏度量中，还是有反例。比如设 ，那么 明显是有界闭集。令 定义为 ，那么这函数连续，上确界是1，但也取不到。

可能你想看到的多元函数除了满足这些条件，变量的数量还要是有限个。在 中，有界闭集就是紧集，连续函数 把紧集 映射到紧集，所以 在 中有界。设 ，那么可以找一个序列 使得 。因为 是紧集，可以找一个收敛子序列 ，就有 。类似可证明 也有最小值。所以在这种特殊情况命题正确。